Exercices de MPSI

[Hicham alpha]

SPOILER:

$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn

Je ne pense pas que la condition Un ∼ Vn est vérifiée dans l'exemple que tu as donné !

Bonne journée

[Simon Billouet]

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.

[Mathoss]

SPOILER:

$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn

Je ne pense pas que la condition Un ∼ Vn est vérifiée dans l'exemple que tu as donné !

Bonne journée

On risque pas de trouver avec 2 séries à termes positifs puisque c'est les théorèmes du cours qui s'appliquent là

[Hicham alpha]

SPOILER:

$ u_{n} = \frac{1}{n} $, la série associée à cette suite diverge, et avec $ v_{n} = \frac{1}{nln(n)^2} $ la série associée converge, et on a bien Un ∼ Vn

On risque pas de trouver avec 2 séries à termes positifs puisque c'est les théorèmes du cours qui s'appliquent là

Oui, tout à fait ( les séries à termes positifs ne le vérifient pas)

Bonne journée

[matmeca_mcf1]

Indice: partez d'une série alternée qui n'est pas absolument convergente.

[Errys]

Trouver une série divergente ∑ Un et une série convergente ∑ Vn telles que Un ∼ Vn.

SPOILER:

Pas si évident que ça de trouver un contre-exemple ! Les suites ne peuvent pas être de signe constant sinon on est dans le cadre du théorème usuel.
On prend donc $ u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ pour construire $ (v_n) $, elle doit être du même signe que $ u_n $ à partir d'un certain rang, on peut donc supposer que c'est toujours le cas, d'où $ v_n = (-1)^n x_n $ avec $ (x_n) $ une suite positive qui ne peut pas être décroissante mais qui est équivalente à $ 1/\sqrt{n} $.
Pour cela, on peut prendre $ x_n = \dfrac{1}{\sqrt{n} + (-1)^n} $ (on définit les suites que pour $ n \ge 2 $ pour éviter des problèmes de définitions futiles).
On a alors au voisinage de l'infini :
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+ (-1)^n} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\cdot \dfrac{1}{1+ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} (1- \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} + o(1/n)) $$
$$ v_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{n}+ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} + o(1/n^{3/2}) $$
Les termes $ \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ et $ \dfrac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} $ sont des termes de séries semi-convergentes d'après le critère des séries alternées. Le terme qui se cache derrière le $ o(1/n^{3/2}) $ est le terme d'une série absolument convergente.
Ainsi, la série de terme général $ (v_n) $ ne peut converger car cela impliquerait la convergence de la série harmonique.

Donc on a $ u_n \sim v_n $, $ \sum u_n $ converge mais $ \sum v_n $ diverge !

[Hicham alpha]

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.

Un indice svp ?!

[Simon Billouet]

Essayez de raisonner par l'absurde et pensez à Bolzano et à Weierstrass (quand vous aurez résolu l'exercice vous pourrez également lire l'"anecdote personnelle" à leur sujet qui commence cet article et qui me fait beaucoup rire).

[Chronoxx]

Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite réelle bornée vérifiant la propriété suivante : il existe $ L\in\mathbb{R} $ telle que pour toute extraction $ \varphi $ telle que $ (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb{N}} $ converge, ce soit vers $ L $. Montrer qu'alors $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ converge.

SPOILER:

La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça

[Hicham alpha]

SPOILER:

La première idée qui me vient, c'est d'itérer BW successivement sur chaque sous-suite jusqu'à "l'épuisement" de tous les termes de la suite. Si un nombre fini d'itération suffit, alors $u$ converge vers $L$. Si un nombre infini de fois est nécessaire, on peut se débrouiller pour ranger tous les termes restants dans une des sous-suites.
Désolé, je suis sur mon téléphone et Latex c'est un peu galère, j'essayerai de formaliser ça

oui, cette idée m'est venue à l'esprit aussi, mais j'avais peur que ces itérations seront infinis ( rien ne l'assure )
pour l'arrangement des termes restants, je ne connais pas de grandes choses à propos de cela

bonne journée