Supposons que $ (u_n) $ ne converge pas, alors il existe $ \epsilon > 0 $ tel que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, il existe $ n_1 \geq n $ tel que $ \mid u_{n_1} - L\mid > \epsilon $
Considérons l'ensemble $ A = \{n \in \mathbb{N}, \mid u_n - L\mid > \epsilon \} $, cet ensemble est infini. En effet, si $ A $ était fini, il admetterait un plus grand élément, notons le $ M $. Or d'après l'hypothèse, on aurait l'existence de $ n_2 > M $ tel que $ \mid u_{n_2} - L\mid > \epsilon $ et c'est absurde car $ n_2 \in A $ par définition.
Ensuite, on peut alors construire une application $ \varphi : \mathbb{N} \rightarrow A $ strictement croissant. Alors, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\varphi(n)} - L\mid > \epsilon $.
De plus, cette suite extraite est bornée car $ (u_n) $ l'est aussi. Ainsi, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite convergente vers un entier $ l $, notons là $ (u_{\psi(n)}) $.
Par extension, pour tout $ n \in \mathbb{N}, \mid u_{\psi(n)} - L\mid > \epsilon $. En passant à la limite, on obtient la relation suivante qui va nous permettre de conclure :
$ \mid l - L \mid \geq \epsilon $ i.e $ l \not= L $
Cela prouve l'existence de deux limites différentes au sein des sous-suites de $ (u_n) $ (on parle de valeurs d'adhérence, la suite $ (u_n) $ en admet alors au moins deux). C'est absurde !
Donc $ (u_n) $ converge !