Question de diagonalisation

[Von_]

Bonsoir,

Une justification subtile m'échappe :
f un endomorphisme d'un $ \mathbb{C} $-espace vectoriel est diagonalisable si et seulement si $ \forall \lambda \in \mathbb{C} $ $ dim(ker(f-\lambda I_d))=dim(ker(f-\lambda I_d)^{2}) $

Pour le sens direct, j'ai dit que si f est diagonalisable alors les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques sont confondus, donc $ ker(f-\lambda I_d)=ker(f-\lambda I_d)^{n_\lambda} $ . Si $ {n_\lambda}>2 $ alors c'est fini. Mais si $ {n_\lambda}=1 $, je ne vois pas comment justifier.

Pour le sens indirect, j'ai dit que la suite des noyaux itérés $ (ker(f-\lambda I_d)^{k})_{k\geq 1} $ est constante, en particulier les sous-espaces propres et caractéristiques sont confondus et donc f est diagonalisable.

Si quelqu'un a d'autres démonstrations, je suis preneur.
Merci

[Nabuco]

Bonsoir,

Une justification subtile m'échappe :
f un endomorphisme diagonalisable si et seulement si $ \forall \lambda \in S_p(f) $ $ dim(ker(f-\lambda I_d))=dim(ker(f-\lambda I_d)^{2}) $

Pour le sens direct, j'ai dit que si f est diagonalisable alors les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques sont confondus, donc $ ker(f-\lambda I_d)=ker(f-\lambda I_d)^{n_\lambda} $ . Si $ {n_\lambda}>2 $ alors c'est fini. Mais si $ {n_\lambda}=1 $, je ne vois pas comment justifier.

Pour le sens indirect, j'ai dit que la suite des noyaux itérés $ (ker(f-\lambda I_d)^{k})_{k\geq 1} $ est constante, en particulier les sous-espaces propres et caractéristiques sont confondus et donc f est diagonalisable.

Si quelqu'un a d'autres démonstrations, je suis preneur.
Merci

Pour le sens direct plus simplement tu dis que la matrice de f dans une bonne base est diagonale et montrer que le Ker(f-\lambda I_d)=Ker((f-\lambda I_d))^2 ce qui est assez immédiat (c'est le vect des ej où le terme en position (j,j) de la matrice diagonale est égal à \lambda.

Pour le sens indirect tu peux raisonner avec le polynôme minimal P. S'il admet une racine double notée \lambda on écrit P=(X-\lambda)^2 Q pour un polynôme non nul Q. On a par égalité des dimensions et inclusion Ker(f-\lambda I_d)=Ker((f-lambda I_d)^2).
Comme P est un polynôme annulateur de f pour tout x dans E (f-\lambda I_d)^2 ( Q(f(x)))=0 donc Q(f(x)) est dans Ker((f-lambda I_d)^2)=Ker(f-\lambda I_d). En particulier pour tout x (f-\lambda I_d)(Q(f(x)))=0. Ceci donne que (X-\lambda)Q est un polynôme annulateur de u ce qui contredit la minimalité de P.

[Von_]

Pour le sens indirect, j'aime bien! C'est assez naturel.
Pour le sens direct, je n'ai pas du tout compris, pourquoi c'est immédiat le fait que Ker(f-\lambda I_d)=Ker((f-\lambda I_d))^2 ?

[Nabuco]

Pour le sens indirect, j'aime bien! C'est assez naturel.
Pour le sens direct, je n'ai pas du tout compris, pourquoi c'est immédiat le fait que Ker(f-\lambda I_d)=Ker((f-\lambda I_d))^2 ?

Ces deux espaces ont la même dimension et on a l'inclusion Ker(f-\lambda I_d) inclus dans Ker((f-\lambda I_d))^2, donc on a l'égalité.

[Von_]

Ces deux espaces ont la même dimension et on a l'inclusion Ker(f-\lambda I_d) inclus dans Ker((f-\lambda I_d))^2, donc on a l'égalité.

Oui mais je parle du sens direct! Les 2 sous-espaces n'ont pas la même dimension, on a juste l'hypothèse de f diagonalisable.

[JeanN]

Dans ce cas, démontre l’egalité des sev

[Nabuco]

Ces deux espaces ont la même dimension et on a l'inclusion Ker(f-\lambda I_d) inclus dans Ker((f-\lambda I_d))^2, donc on a l'égalité.

Oui mais je parle du sens direct! Les 2 sous-espaces n'ont pas la même dimension, on a juste l'hypothèse de f diagonalisable.

Désolé j'ai confondu. Dans ce cas je t'ai dit de considérer une base dans laquelle f est diagonale et de montrer que les deux Ker sont les Vect des ei pour i tel que le coefficient diagonal en i,i est \lambda.

Une autre possibilité et d'utiliser le lemme des noyaux E est la somme directe des Ker(f-a Id) pour a dans le spectre de f, qui est inclus dans la somme directe des Ker(f-aId)^2 pour a dans le spctre de f qui est inclus dans E donc on a égalité. En particulier on aurait un problème de dimension si pour un a dans le spectre de f Ker(f-aI_d) est strictement inclus dans Ker(f-aI_d)^2.

[Von_]

Dans ce cas, démontre l’egalité des sev

Avec l'idée de @Nabuco, je prends la matrice de f dans une bonne base : $ A=Mat(f)=diag(\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n) $. Ensuite, Je prends un vecteur X dans $ ker((A-\lambda I_n)^{2}) $, ceci se traduit par $ \forall i \in[1,n], (\lambda_i-\gamma )^{2}x_i=0 $ $ \forall \gamma \in\mathbb{C} $. Alors dans ce cas, si $ \exists j \in[1,n], \lambda_j=\gamma $, alors $ ker(f-\gamma Id)=ker((f-\gamma Id)^{2})=Vect(e_j) $, sinon on divise par $ (\lambda_i-\gamma ) $ et on a X dans $ ker((A-\lambda I_n)) $. Est-ce correct?

[JeanN]

C'est pas très propre.
Pourquoi cette traduction avec le "pour tout gamma dans C" ?
Refais proprement le début et ensuite utilise tout simplement que si a^2*b=0, alors a*b=0 (dans C)