Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » 11 juin 2019 18:14

Beatboxer a écrit :
11 juin 2019 18:12
Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $
Bonjour,
SPOILER:
La série $\displaystyle\sum\limits_{\underset{\exists k\in\mathbb{N}^*, n = k^2 }{n\geq 1}} \frac{1}{n}$ ?

Oui ça marche
Modifié en dernier par Nabuco le 11 juin 2019 18:27, modifié 1 fois.

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Re: Exercices de MPSI

Message par Beatboxer » 11 juin 2019 18:23

C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$

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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » 11 juin 2019 18:27

Beatboxer a écrit :
11 juin 2019 18:23
C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$
Ah oui mea culpa.
On peut généraliser en remplaçant 1/n par n'importe quelle suite qui tend vers 0 (dans le petit o).

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Re: Exercices de MPSI

Message par Mathoss » 11 juin 2019 20:01

Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs
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Re: Exercices de MPSI

Message par Chronoxx » 11 juin 2019 20:23

Mathoss a écrit :
11 juin 2019 20:01
Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs
Nope, la série doit être de terme général positif.
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<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

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Re: Exercices de MPSI

Message par Varzmir » 11 juin 2019 22:44

Errys a écrit :
09 juin 2019 11:12
Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.
Une solution un peu plus courte :
SPOILER:
Si G est dénombrable, Ok par non dénombrabilité de R. Sinon, soit x dans R\G alors x+G est inclus dans R\G et est en bijection avec G non dénombrable.
[EDIT] Hem, j'avais mal lu l'énoncé...
SPOILER:
Si G est discret, ok car R\aZ est dense dans R. Sinon G est dense dans R (théorème classique :) ) et on prend la partie X = x+G où x n'appartient pas à G, qui est dense
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Re: Exercices de MPSI

Message par Naelvicoz » 16 juin 2019 21:59

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie $ n\geq 2 $ et $ u\in\mathcal L(E) $ vérifiant $ u^{n-1}=0 $ et $ u^{n-2}\neq 0 $. Montrer que $ \dim(\ker u)\cap \dim(\mathrm{im } u)=1 $

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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » 30 juin 2019 16:40

Combinatoire:

Soit $n$ un entier naturel. Dénombrer le nombre d'applications $h: \{a_{1},...,a_{2n}\} \to \{0,1\}$ qui vérifient:

$$\sum_{j=1}^{n} h(a_{j}) \leq \sum_{j=n+1}^{2n} h(a_{j})-1$$
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Re: Exercices de MPSI

Message par yusif » 24 juil. 2019 15:19

$0 <\alpha <1 $ l'équivalence suivante est elle vraie : $x_{n+1} - \alpha x_{n} \mapsto 0$ ssi $x_n \mapsto 0$

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Re: Exercices de MPSI

Message par BobbyJoe » 25 juil. 2019 10:38

@Oti
Soit $n\in\mathbb{N}.$ On note $\displaystyle \mathcal{P}_{n}=\#\left\{h:\{1,\ldots,2n\}\rightarrow \{0,1\}\mbox{ }|\mbox{ } \sum_{k=1}^{n}h(k)\leq \sum_{k=n+1}^{2n}h(k)-1\right \}.$
On trouve en raisonnant sur le nombre de fois que l'application $h$ prend la valeur $1$ dans $\{1,\ldots,n\}$ et après quelques manipulations de sommes de coefficients binomiaux :
\begin{align*}
\mathcal{P}_{n} & = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\sum_{l\geq k+1}\binom{n}{l}\\
& = \frac{1}{2}\left(4^{n}-\binom{2n}{n}\right).
\end{align*}

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