Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

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Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » 18 juin 2019 16:58

Bonjour,
Je ne vois pas comment traiter cet exo "rapidement" :
Soit $ A \in R_n[X] $ tel que $ \int_{0}^{1}A(t)dt\neq 0 $
On a $ \displaystyle \forall P \in \mathbb{R}_n[X],\ \varphi(P) = \int_0^1 P(t) dt \times A - \int_0^1 A(t) dt \times P $
Déterminer les éléments propres de cet endomorphisme $ \varphi $
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Nabuco » 18 juin 2019 17:20

calcul phi(A), et calcule phi(P) si P est un polynôme à intégrale entre 0 et 1 nulle. Ca te permettra de déterminer les valeurs propres et la dimension de l'espace caractéristique correspondant.

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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » 18 juin 2019 18:19

Nabuco a écrit :
18 juin 2019 17:20
calcul phi(A), et calcule phi(P) si P est un polynôme à intégrale entre 0 et 1 nulle. Ca te permettra de déterminer les valeurs propres et la dimension de l'espace caractéristique correspondant.
$ \varphi (A)=0 $ et si $ P \in R_n[X] $ vecteur propre de $ \varphi $ alors on distingue deux cas : Si $ \int_{0}^{1}P(t)dt=0 $
alors la valeur propre associé est $ -\int_{0}^{1}A(t)dt $ mais comment déterminer la dimension du sous-espace propre associé ?

Et si $ \int_{0}^{1}P(t)dt \neq 0 $, comment procéder?
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par 789 » 18 juin 2019 18:43

Von_ a écrit :
18 juin 2019 18:19
Nabuco a écrit :
18 juin 2019 17:20
calcul phi(A), et calcule phi(P) si P est un polynôme à intégrale entre 0 et 1 nulle. Ca te permettra de déterminer les valeurs propres et la dimension de l'espace caractéristique correspondant.
$ \varphi (A)=0 $ et si $ P \in R_n[X] $ vecteur propre de $ \varphi $ alors on distingue deux cas : Si $ \int_{0}^{1}P(t)dt=0 $
alors la valeur propre associé est $ -\int_{0}^{1}A(t)dt $ mais comment déterminer la dimension du sous-espace propre associé ?

Et si $ \int_{0}^{1}P(t)dt \neq 0 $, comment procéder?
Pourquoi supposer $ P $ vecteur propre ? Quelle est la dimension de $ \{ P \in R_n[X] , \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \} $ ?
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » 18 juin 2019 18:55

789 a écrit :
18 juin 2019 18:43
Pourquoi supposer $ P $ vecteur propre ? Quelle est la dimension de $ \{ P \in R_n[X] , \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \} $ ?
Bah on cherche les éléments propres donc on prend P un vecteur propre et on distingue les cas.
Justement, je cherche la dimension de ce sous-espace propre, mais je crois que c'est n-1 . Si $ P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k $ alors on a $ \sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{k+1}=0 $ , donc la dimension est n-1
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Nabuco » 18 juin 2019 19:34

en particulier maintenant tu peux utiliser phi(A)

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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par 789 » 18 juin 2019 19:41

Von_ a écrit :
18 juin 2019 18:55
789 a écrit :
18 juin 2019 18:43
Pourquoi supposer $ P $ vecteur propre ? Quelle est la dimension de $ \{ P \in R_n[X] , \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \} $ ?
Bah on cherche les éléments propres donc on prend P un vecteur propre et on distingue les cas.
Ce n'est pas forcément le raisonnement le plus direct.
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » 18 juin 2019 19:44

Nabuco a écrit :
18 juin 2019 19:34
en particulier maintenant tu peux utiliser phi(A)
Je ne vois pas le rapport avec phi(A), peux-tu expliciter stp ?
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Message par Von_ » 18 juin 2019 19:44

789 a écrit :
18 juin 2019 19:41
Ce n'est pas forcément le raisonnement le plus direct.
Je suis preneur de tout autre raisonnement direct.
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Nabuco » 18 juin 2019 22:21

phi(A)=0 donc A est vecteur propre
Ainsi que connais-tu sur les dimensions de Ker phi et Ker phi +int de 0 à 1 de A Id ? Bilan tu dois pouvoir expliciter ces espaces propres

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