Exercices de MPSI
Re: Exercices de MPSI
C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$
Ensimag Grenoble
Re: Exercices de MPSI
Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Exercices de MPSI
Nope, la série doit être de terme général positif.
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
Re: Exercices de MPSI
Une solution un peu plus courte :
SPOILER:
SPOILER:
2017-2018 : MPSI 2 Lycée Thiers
2018-2019 : MP*1 Lycée Thiers
2019- : Joueur de pipeau au TIPE tétraconcours
2018-2019 : MP*1 Lycée Thiers
2019- : Joueur de pipeau au TIPE tétraconcours
Re: Exercices de MPSI
Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie $ n\geq 2 $ et $ u\in\mathcal L(E) $ vérifiant $ u^{n-1}=0 $ et $ u^{n-2}\neq 0 $. Montrer que $ \dim(\ker u)\cap \dim(\mathrm{im } u)=1 $
Re: Exercices de MPSI
Combinatoire:
Soit $n$ un entier naturel. Dénombrer le nombre d'applications $h: \{a_{1},...,a_{2n}\} \to \{0,1\}$ qui vérifient:
$$\sum_{j=1}^{n} h(a_{j}) \leq \sum_{j=n+1}^{2n} h(a_{j})-1$$
Soit $n$ un entier naturel. Dénombrer le nombre d'applications $h: \{a_{1},...,a_{2n}\} \to \{0,1\}$ qui vérifient:
$$\sum_{j=1}^{n} h(a_{j}) \leq \sum_{j=n+1}^{2n} h(a_{j})-1$$
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exercices de MPSI
$0 <\alpha <1 $ l'équivalence suivante est elle vraie : $x_{n+1} - \alpha x_{n} \mapsto 0$ ssi $x_n \mapsto 0$
Re: Exercices de MPSI
@Oti
Soit $n\in\mathbb{N}.$ On note $\displaystyle \mathcal{P}_{n}=\#\left\{h:\{1,\ldots,2n\}\rightarrow \{0,1\}\mbox{ }|\mbox{ } \sum_{k=1}^{n}h(k)\leq \sum_{k=n+1}^{2n}h(k)-1\right \}.$
On trouve en raisonnant sur le nombre de fois que l'application $h$ prend la valeur $1$ dans $\{1,\ldots,n\}$ et après quelques manipulations de sommes de coefficients binomiaux :
\begin{align*}
\mathcal{P}_{n} & = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\sum_{l\geq k+1}\binom{n}{l}\\
& = \frac{1}{2}\left(4^{n}-\binom{2n}{n}\right).
\end{align*}
Soit $n\in\mathbb{N}.$ On note $\displaystyle \mathcal{P}_{n}=\#\left\{h:\{1,\ldots,2n\}\rightarrow \{0,1\}\mbox{ }|\mbox{ } \sum_{k=1}^{n}h(k)\leq \sum_{k=n+1}^{2n}h(k)-1\right \}.$
On trouve en raisonnant sur le nombre de fois que l'application $h$ prend la valeur $1$ dans $\{1,\ldots,n\}$ et après quelques manipulations de sommes de coefficients binomiaux :
\begin{align*}
\mathcal{P}_{n} & = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\sum_{l\geq k+1}\binom{n}{l}\\
& = \frac{1}{2}\left(4^{n}-\binom{2n}{n}\right).
\end{align*}
Re: Exercices de MPSI
@Yusif
Vrai : il suffit d'observer un télescopage en introduisant la suite $u$ définie pour $n\in\mathbb{N}$ par : $\displaystyle u_{n}=\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}$ et de découper un peu les $\varepsilon.$ L'énoncé reste d'ailleurs vrai si $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$
Voici un exercice basé sur le même genre de technique (se ramener à des récurrences connues mais perturbées sur les suites) :
Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $\alpha\in \mathbb{C}$ tel que $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$ On considère une suite $u$ bornée et vérifiant $\displaystyle u_{n}+\alpha u_{qn}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} l$ où $l\in \mathbb{C}.$
i) Montrer que $u$ est convergente.
ii) Donner un contre-exemple lorsque $u$ n'est pas bornée.
Vrai : il suffit d'observer un télescopage en introduisant la suite $u$ définie pour $n\in\mathbb{N}$ par : $\displaystyle u_{n}=\frac{x_{n}}{\alpha^{n}}$ et de découper un peu les $\varepsilon.$ L'énoncé reste d'ailleurs vrai si $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$
Voici un exercice basé sur le même genre de technique (se ramener à des récurrences connues mais perturbées sur les suites) :
Soit $q$ un entier plus grand ou égal à $2$ et $\alpha\in \mathbb{C}$ tel que $\displaystyle \vert \alpha \vert <1.$ On considère une suite $u$ bornée et vérifiant $\displaystyle u_{n}+\alpha u_{qn}\longrightarrow_{n\rightarrow +\infty} l$ où $l\in \mathbb{C}.$
i) Montrer que $u$ est convergente.
ii) Donner un contre-exemple lorsque $u$ n'est pas bornée.