Plasma au repos

[Tristan33]

Bonjour,
dans l'exercice suivant, il y a quelque chose que je ne comprends pas.

Un plasma gazeux, globalement neutre, comprend, placés dans le vide, des ions positifs supposés fixes et des électrons de masse $ m $ et de charge $ -e $ susceptibles de se déplacer.
Soient $ n $ le nombre d'électrons par unité de volume du plasma au repos, supposé homogène, et $ u(z, t) $ un petit déplacement d'ensemble suivant l'axe $ Oz $ des électrons situés en $ z $ quand le plasma est au repos. L'agitation thermique et le poids sont négligés.

La question : en raisonnant sur une tranche comprise entre $ z $ et $ z + dz $ quand le plasma est au repos, donner la densité d'électrons $ n^{-} $ lors du déplacement.

La réponse est la suivante :
La conservation du nombre d'électrons compris au repos dans la tranche de section $ S $ entre $ z $ et $ z + dz $ (en trait plein) et au cours du mouvement dans la tranche en pointillé s'écrit : $ n^{-}S(dz + u(z+dz, t) - u(z,t)) = nSdz $



Je ne comprends pas le bilan qui est fait. Quelqu'un pour m'expliquer SVP ?

[Luckyos]

On considère les électrons situés dans la tranche avant le déplacement. Ils occupent un volume S[(z+dz) - z].
Après le petit déplacement effectué à l'instant t, ces mêmes électrons occupent un volume S[(z+dz+u(z+dz,t)) - (z+u(z,t))] car ils se sont déplacés de u selon z et il suffit de connaître les déplacements des extrémités de la tranche.

Puisque ce sont les mêmes électrons, il y en a autant dans ces deux volumes, et ce nombre est densité*volume par définition de la densité, d'où l'égalité.

[Tristan33]

@Luckyos

Merci pour votre réponse, très claire.

Mais vous avez une idée pourquoi à gauche c'est $ n^{-} $ et à droite c'est juste un $ n $ ?

[Luckyos]

Visiblement ça a pas été si clair que ça pour toi si tu poses cette question.

Il suffit de lire l'énoncé, n c'est la densité au repos, donc quand tu calcules le nombre d'électrons dans la tranche au repos il faut utiliser le volume au repos ET la densité au repos.
C'est pareil pour le nombre d'électrons en mouvement (ie juste après le petit déplacement), tu dois utiliser la densité appropriée, qui est notée n- par l'énoncé.

L'idée d'un bilan c'est d'utiliser la conservation d'une grandeur (ici c'est le nombre d'électrons) associée à un système donné.
Ca peut aussi être une charge électrique, une quantité de matière, un moment cinétique, une énergie, etc.
En calculant cette grandeur à deux instants différents (donc avec des paramètres différents qui vont donner des expressions différentes) on obtient alors une relation intéressante puisque les deux expressions sont égales (car la grandeur est conservée).
Ici les paramètres qui varient sont la densité d'électrons et le volume du système, il faut faire attention à prendre les bonnes valeurs pour chaque instant.

[Tristan33]

@Luckyos
D'accord, merci