sommes, combinaisons, suites avec intégrale

[deep]

bonsoir,

je bloque sur plusieurs questions en maths et j'aimerais avoir de l'aide si possible :

1) calculer la somme de k allant de 0 à n de k*(k parmi n). jusque-là, j'ai utilisé la formule p(p parmi k) = n(k-1 parmi n-1) et obtenu n * somme combinaison (k-1 parmi n-1). après, même avoir écrit la formule avec les factorielles ne m'avance pas beaucoup.
le binôme de newton n'a pas l'air très utile ici, même avec des changements d'indices douteux (en posant un nouveau k=k-1, ce qu'on n'a sûrement pas le droit de faire puisqu'on obtiendrait une somme allant d'un nombre négatif à n).

2) calculer la double somme (pour simplifier la compréhension "S"=sigma)
[S allant de i=0 à n] [S de j=0 à n-1] (i+j parmi n)
après avoir fait une permutation, et remplacé par les expressions factorielles, j'obtiens :
somme de k allant de 0 à n de [(k+1)n!]/[(n-k)!k!]
après j'arrive pas à calculer cette somme, ni à la simplifier... j'imagine que n!/k! peut se simplifier ?

et enfin la dernière partie d'un problème :

f(x) = 1/sqrt(1+x^2)
et Un= intégrale de 0 à 1 de x^nf(x)dx pour n dans N
dans la première question il s'agissait d'étudier f(x), la seconde d'étudier F(x)=ln(x+sqrt(1+x^2)) qui bizarrement n'est pas la primitive de f(x)
et la dernière séparée en plusieurs parties pour lesquelles je bloque :
1.1 calculer Uo et U1 puis déterminer le sens de variation de (Un)
1.2 justifier l'encadrement suivant pour x€[O,1] et n€N 0 <= x^n/sqrt(1+x^2) <= x^n
1.3 en déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite.

pour ce problème, j'ai juste réussi à calculer U1, en remarquant que la primitive de f(x) était la racine du dénominateur lorsque n=1.
pour le reste, je sais pas trop comment m'y prendre sans avoir de primitive pour calculer l'intégrale et donc déterminer le sens de variation.
j'imagine que ce sens de variation sert pour la 1.2 pour encadrer la fonction à intégrer sur l'intervalle. avec cette question, la 1.3 devient assez aisée puisqu'on aurait la variation de la suite et un encadrement pour montrer qu'elle converge (en jouant avec l'inégalité) et la limite en utilisant les gendarmes. du coup je sais pas trop comment virer cette intégrale.

merci d'avance et désolé pour les écritures je sais pas trop comment faire pour écrire les symboles sur internet, du coup la lecture en est impactée.

[Yannbzh]

Pour la première : utilise le binôme de Newton de manière assez astucieuse (tu as le droit de faire des choses dessus auxquelles on ne pense pas tout le temps, des manipulations analytiques...)
Pour la double somme dans la somme interne i est fixé

[Nabuco]

Pour la 1 pas sur que l astuce précédente soit la plus simple. Une fois que tu as fait ta manipulation tu vois bien que le terme k=0 est nul dans ta somme tu peux supposer k>=1 et ensuite tu peux faire ton changement d indice. Tu te ramenes à une somme type somme des k parmi n que tu dois savoir faire

Pour la deuxième partie de la 1 ta somme est fausse pour le terme en n : si j va de 0 à n-1 alors tu n as que n possibilités. Ensuite ne fais pas apparaître les factorielles ça complique tout. Essaie de te ramener à la question 1.

Pour la 1.1 tu dois connaître une primitive de 1/(1+x^2)
Pour la 1.2 l inegalite est assez simple élèves découle juste inégalités élémentaires
Pour la 1.3 utilisé ton encadrement : intégrer conserve les inégalités