Extractrice suite.

[m3hdi]

Bonsoir. Etant donnée une suite d'éléments d'un compact, peut-on toujours obtenir une sous suite convergente d'extractrice f(n) de manière à avoir la suite (f(n+1)-f(n)) strictement croissante?
Merci.

[oty20]

On peut la construire par récurrence :


soit $ f(1) $le plus petit entier tel que $ u_{f(1)} \in B(s,1) $ ($ s $ valeur d'adhérence de la suite ) , $ f(2) $ le plus petit entier $ >f(1) $ tel que $ u_{f(2)} \in B(s,\frac{1}{2}) $

$ f(3) $ le plus petit entier $ > 2f(2)-f(1) $ tel que $ u_{f(3)} \in B(s,\frac{1}{4}) $ avec $ f(3)-f(2)> f(2)-f(1)> 0 $ donc $ f(3)> f(2) $.

supposant construit $ u_{f(1)},...,u_{f(k)} $ de sorte a ce que $ f(p) > 2f(p-1)-f(p-2) $, $ p \in [[3, k]] $ avec

$ u_{f(p)} \in B(s, \frac{1}{2^{p-1}}) $

On choisit $ f(k+1) $ le plus petit entier $ > 2f(k)-f(k-1) $ tel que $ u_{f(k+1)} \in B(s, \frac{1}{2^{k}}) $


On peut vérifier aussi par une récurrence immédiate que les $ f(k) $ ainsi construit sont strictement croissant ...

[Nabuco]

On peut la construire par récurrence :


soit $ f(1) $le plus petit entier tel que $ u_{f(1)} \in B(s,1) $ ($ s $ valeur d'adhérence de la suite ) , $ f(2) $ le plus petit entier $ >f(1) $ tel que $ u_{f(2)} \in B(s,\frac{1}{2}) $

$ f(3) $ le plus petit entier $ > 2f(2)-f(1) $ tel que $ u_{f(3)} \in B(s,\frac{1}{4}) $ avec $ f(3)-f(2)> f(2)-f(1)> 0 $ donc $ f(3)> f(2) $.

supposant construit $ u_{f(1)},...,u_{f(k)} $ de sorte a ce que $ f(p) > 2f(p-1)-f(p-2) $, $ p \in [[3, k]] $ avec

$ u_{f(p)} \in B(s, \frac{1}{2^{p-1}}) $

On choisit $ f(k+1) $ le plus petit entier $ > 2f(k)-f(k-1) $ tel que $ u_{f(k+1)} \in B(s, \frac{1}{2^{k}}) $


On peut vérifier aussi par une récurrence immédiate que les $ f(k) $ ainsi construit sont strictement croissant ...

Pas de raison que ta construction marche, aucune raison qu il existe les termes nen question.

Si tu as une suite strictement croissante convergente c est impossible (car f (1)-f (0) >0 par croissance f (n+1)-f (n) ne tend pas vers 0 ce qui contredit la convergence).

[JeanN]

Je n'ai pas lu en détail la preuve d'oty mais je crois qu'il n'y a pas beaucoup de suites d'entiers strictement croissantes et convergentes.

[matmeca_mcf1]

À mon avis, l'énoncé a été mal retranscrit par l'OP et est ambigû. Cela devrait être "Étant donné un suite $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $ à valeurs dans un espace métrique (probablement un sous-ensemble compact d'un evn pour se limiter au programme de prépa) compact $ K $, existe-il une fonction extractrice $ \varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ telle que

• $ \varphi $ soit strictement croissante.
• $ \varphi(n+1)-\varphi(n) $ soit strictement croissante.
• La suite $ u\circ\varphi\colon n\mapsto u_{\varphi(n)} $ converge.

?

[oty20]

Je n'ai pas lu en détail la preuve d'oty mais je crois qu'il n'y a pas beaucoup de suites d'entiers strictement croissantes et convergentes.

Bonjour, j'avais compris le problème proposé par l'OP au sens qui a été décrit par @matmeca_mcf1, c'est ce que j'ai essayé de démontrer.

[JeanN]

Je n'ai pas lu en détail la preuve d'oty mais je crois qu'il n'y a pas beaucoup de suites d'entiers strictement croissantes et convergentes.

Bonjour, j'avais compris le problème proposé par l'OP au sens qui a été décrit par @matmeca_mcf1, c'est ce que j'ai essayé de démontrer.

Oui, j’aurais dû préciser que je répondais à Nabuco