un tel sous-groupe existe-t-il?

[Tristan33]

Bonjour,

je cherche à montrer qu'il n'existe pas de sous-groupe d'ordre 30 ou 40 du groupe $ S_{5} $
Comme la plupart de ce genre de questions, la réponse est non.
J'ai réussi à le démontrer pour 30 mais j'ai du mal avec 40.
Il est suggéré de penser au théorème de Cauchy sur les groupes : Si G est d'ordre n et p est un diviseur premier de n alors il existe un sous-groupe d'ordre p.
quelqu'un a une idée ?

Merci d'avance

[JeanN]

Je connais plusieurs méthodes pour montrer (par l'absurde) que la réponse est non.
L'un de mes élèves avait trouvé celle-ci :
Prendre H ss groupe de S5 de cardinal 40 et c un 5-cycle de S5.
Vérifier que parmi les ensembles H, cH, c^2 H, c^3 H et c^4 H, deux sont égaux et en déduire que c est un élément de H.
En déduire enfin que $ H\cap A_5 $ contient trop d'éléments.

[autobox]

Suppose qu'un tel groupe existe et note le $ H $
D'après le théorème de Lagrange, $ S_5/H $ est un sous-groupe d'ordre 3.
Puisque $ S_5 $ agit sur $ S_5/H $ par translation (à droite) et en permute les élements, il existe un morphisme de groupes $ f :S_5\to S_3 $ tq $ Im(f) $ ait 3 éléments au moins.
Or, si $ f :S_5\to S_3 $ est un morphisme de groupes, puisque $ A_5 $ est simple* $ f(A_5) = \{0\} $ et donc $ A_5\subseteq Ker(f) $. Mais d'après le premier théorème d'isomorphisme, $ Im(f) $ est de même cardinal que $ S_5/Ker(f) $.
Sauf que pas de bol, $ S_5/A_5 $ est de cardinal $ 2 < 3 $, donc il est impossible que $ \#Im(f) \geq 3 $ !

*: $ Card(A_5) > Card(S_3) $ donc $ f_{|A_5} $ n'est pas injective et puisque $ A_5 $ n'a pas de sous-groupe normal et propre, alors l'image $ f(A_5) $ ne peut être que nulle

[JeanN]

Pour rappel
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=6567

[Tristan33]

Pour rappel
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=6567

Je reste dans les règles pour l'instant non ?

(je ne demande jamais des solutions mais juste des indications, pistes...)

[JeanN]

Pour rappel
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Je reste dans les règles pour l'instant non ?

(je ne demande jamais des solutions mais juste des indications, pistes...)

Toi, oui

[Tristan33]

Ah vous parliez d'Autobox

C'est vrai qu'il rédige entièrement

[autobox]

C'est vrai que parfois quand l'exo me semble intéressant je me laisse emporter et j'abuse un peu (beaucoup)
Mais je vais essayer de maitriser mes pulsions à l'avenir