Applications linéaires

[gallica]

Bonjour,

Voici l'énoncé de l'exercice qui me pose problème:
Soit f appartenant à L(E) tel que pour tout x appartenant à E, x et f(x) soient colinéaires.
Montrer que f est une homothétie vectorielle.

La réponse n'est-elle pas contenue dans la formulation même de l'énoncé ? Si x et f(x) sont colinéaires, cela signifie qu'il existe un unique L tel que f(x)=L*x ?

Merci par avance pour votre aide.

[Simon Billouet]

Dans votre énoncé, L dépend de x. Il faut justement montrer qu'il en est indépendant (passer de "pour tout x, il existe L tel que f(x)=L*x" à "il existe L tel que pour tout x, f(x)=L*x" est tout sauf gratuit).

[gallica]

D'accord j'ai compris. En prenant deux vecteurs x et y , il va donc falloir distinguer deux cas : l'un où (x,y) est liée et l'autre où (x,y) est libre ?

[Errys]

C'est l'idée !

[Beatboxer]

Peut-on démontrer ce résultat en introduisant une base $ (e_{i})_{i\in I} $ de $E$ (qui existe peu importe si $E$ est de dimension finie ou infinie) ?

[JeanN]

Peut-on démontrer ce résultat en introduisant une base $ (e_{i})_{i\in I} $ de $E$ (qui existe peu importe si $E$ est de dimension finie ou infinie) ?

Il est préférable d'éviter le recours aux bases en dimension infinie.
En plus, le travail n'est pas tellement plus simplifié car le cas des vecteurs liés qui n'est plus à traiter n'est pas le plus difficile.