Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

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Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par gloomy » 10 nov. 2019 13:05

Bonjour,
Je bloque fortement sur une question d’un exercice:
On a une fonction définie par: F(x)= intégrale de 0 à 1 de (dt/t^3+t+x) avec x un réel >0
La question est: démontrer que F(x)~(-ln(x)) quand x tend vers 0
Sachant que je suis en mpsi et qu’il y a beaucoup d’outils que je n’ai pas le droit d’utiliser puisque pas encore vus... on a pas encore vraiment vu les intégrales dépendant d’un paramètre officiellement
Dans les questions d’avant on a montré que F(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0
Et j’ai réussi à montrer que 1/2<=F(x)/lnx <=1
Je ne sais pas si je devrais essayer de minorer par quelque chose qui tend aussi vers 1, ou si ce n’est pas du tout la bonne technique

Merci d’avance, je ne sais pas si j’ai été clair
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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par autobox » 10 nov. 2019 14:09

Bonjour,
gloomy a écrit :
10 nov. 2019 13:05
La question est: démontrer que F(x)~(-ln(x)) quand x tend vers 0
contredit

gloomy a écrit :
10 nov. 2019 13:05
Dans les questions d’avant on a montré que F(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0

qui contredit
gloomy a écrit :
10 nov. 2019 13:05
j’ai réussi à montrer que 1/2<=F(x)/lnx <=1

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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par gloomy » 10 nov. 2019 14:11

La question exacte est: montrer que F(x)/(-ln(x)) tend vers 1 lorsque x tend vers 0
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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par gloomy » 10 nov. 2019 14:14

J’ai montré que 1/2<= F(x)/-ln(x) <= 1
J’ai oublié le signe -
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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par autobox » 10 nov. 2019 14:25

Oui, mais je voulais dire que F tend vers l'infini en 0, et pas vers 0.
As-tu essayé de faire un changement de variable t->1/t pour te ramener à une intégrale entre 1 et l'infini, pour la comparer à une série ?

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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par gloomy » 10 nov. 2019 14:34

Ah oui oui bien sûr
A vouloir donner des indices concernant les questions précédentes j’écris n'importe quoi
Je n’ai pas vu les séries encore donc je pense que le prof attend quelque chose sans les utiliser
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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par gloomy » 10 nov. 2019 19:19

Personne?😢
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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par JeanN » 10 nov. 2019 19:43

Pose g(x) = l’intégrale de 1/(t+x) dt entre 0 et 1 et essaye de montrer que f(x) - g(x) est bornée
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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par autobox » 10 nov. 2019 19:59

JeanN a écrit :
10 nov. 2019 19:43
Pose g(x) = l’intégrale de 1/(t+x) dt entre 0 et 1 et essaye de montrer que f(x) - g(x) est bornée
C'est malin comme idée, j'aime bien ça :)

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Re: Équivalent en 0 d’une intégrale à paramètre

Message par gloomy » 10 nov. 2019 21:31

Je trouve que c’est majoré par 0 et minoré par -1/(2+x)(1+x) et donc -1/2, mais je ne vois pas ce que cela m’apporte de plus, ou alors je n’ai rien compris à votre indication...
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