Démonstrations les plus difficiles de MPSI

[Fromhktosun]

Bonjour,

J'ai une question pas forcément intéressante et évidemment subjective.

Dans l'ensemble des théorèmes et outils utilisés (donc cela peut concerner une démonstration d'un résultat admis du programme), quelles sont selon vous les trois démonstrations les plus difficiles de MPSI ?

Des avis de professeurs seraient intéressants ainsi que les anciens MPSI qui ont déjà vu le programme en entier !

[Simon Billouet]

Parmi les démonstrations exigibles seulement ?

[Fromhktosun]

Les deux : exigibles et non exigibles (mais de résultats du programme).

J'ajoute quand même deux contraintes :
- pas de démonstration concernant le fondement de la théorie des ensembles ou les constructions des ensembles de nombres N, Z, Q, R, C (même si certaines sont faciles, ce n'est pas la question).
- pas de démonstration nécessitant l'axiome du choix/Zorn (dimension infinie en algèbre linéaire par exemple) car pas du tout dans l'esprit du programme apparemment.

Mais on peut dans un premier temps se concentrer sur celles exigibles.

[Inversion]

Peut-être le théorème fondamental de l'algèbre, mais je ne pense pas avoir suffisamment de recul pour en juger.

[JeanN]

Th fondamental de l’algèbre
n+1 vecteurs dans vect (e1,...,en) est une famille liée.
Existence d’une forme n-lineraire alternée non nulle sur un ev de dimension n.
Existence et unicité de la décomposition en éléments simples
Construction de la signature
Formule de Taylor Young avec les hypothèses minimales
Etc.

Ne reste plus qu’à classer tout ça

[BobbyJoe]

-Le lemme de l'échange (essentiellement une variation autour de : une famille de $ $$(n+1)$ vecteurs dans un espace de dimension au plus $ $$n$ forme une famille liée).
-Borel-Lebesgue pour un segment dans $ $$\mathbb{R}$ et son application au théorème de Heine.
-Les sous-groupes additifs de $ $$\mathbb{R}$ avec application à la densité dans $ $$[-1,1]$ de la suite $ $$(\sin(n))_{n\geq 0}.$

***Troll mode on :
-le lemme des coalitions.
-l'inversion de Mobiüs ou la formule fonctionnelle du crible combinatoire avec des applications.
-la construction de l'intégrale de Riemann sous les hypothèses minimales.
***Troll mode off

Allez, j'ai bien ri :p

[Simon Billouet]

Le théorème fondamental de l'algèbre, la démonstration est explicitement hors programme.
Sinon, les sous-groupes additifs de $ \mathbb{R} $, ce n'est pas au programme...
(Je donne ma liste ce soir, dès que j'ai un peu de temps ! )

[Simon Billouet]

Bon alors, ma liste concernant les démonstrations au programme (i.e. ni explicitement hors programme ni non exigibles) :
-le théorème des valeurs intermédiaires
-le fait que dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille de (n+1) vecteurs est liée
-le théorème du rang

Si on rajoute les démonstrations non exigibles, quasiment toutes sont plus compliquées (l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, l'injectivité sur un intervalle pour une fonction continue entraîne la monotonie, la formule de Stirling, la construction de la signature, l'existence du déterminant, le théorème de Heine...). Si on rajoute les démonstrations hors programme (comme le théorème fondamental de l'algèbre), c'est pire

[Calli]

Bonjour,
Je dirais le théorème de la dimension, le théorème sur le calcul matriciel par blocs et l'existence des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles (j'en ai peut-être oublié d'autres).

[1sala23]

Bon alors, ma liste concernant les démonstrations au programme (i.e. ni explicitement hors programme ni non exigibles) :
-le théorème des valeurs intermédiaires
-le fait que dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille de (n+1) vecteurs est liée
-le théorème du rang

Si on rajoute les démonstrations non exigibles, quasiment toutes sont plus compliquées (l'image d'un segment par une fonction continue est un segment, l'injectivité sur un intervalle pour une fonction continue entraîne la monotonie, la formule de Stirling, la construction de la signature, l'existence du déterminant, le théorème de Heine...). Si on rajoute les démonstrations hors programme (comme le théorème fondamental de l'algèbre), c'est pire

Heine se fait très bien par l'absurde, la construction de la signature ou le $ \sqrt{2\pi n} $ de Stirling sont plusieurs niveaux au dessus

(L'existence du déterminant, vous parlez de la notion de volume etc ?)


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