Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé
Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé
Bonjour, je bloque sur un exercice :
Soit E l'ensemble des fonctions continues définies sur [0,1] à valeurs dans R et u(f) = f² de E vers E.
Montrer que si E est muni de la norme infinie au départ et à l'arrivée, alors u est continue en tout point.
J'essaye de prouver la définition de u est continue mais sans succés, quelqu'un aurait-il une indication ?
Soit E l'ensemble des fonctions continues définies sur [0,1] à valeurs dans R et u(f) = f² de E vers E.
Montrer que si E est muni de la norme infinie au départ et à l'arrivée, alors u est continue en tout point.
J'essaye de prouver la définition de u est continue mais sans succés, quelqu'un aurait-il une indication ?
Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé
Utilise le fait que u(f)-u(g)=f^2-g^2=(f-g)(f+g) et la caractérisation séquentielle de la continuité
Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé
J'y avais pensé mais ca ne ma rien donné, voici ce que j'ai écrit : ( je n'ai pas utilisé la définition séquentielle )
On pose f0(t) dans E
$ \forall \varepsilon > 0 $ , $ \exists \alpha > 0 $ , $ \forall f $ tel que $ \forall t \in [0,1] ,( \left | f(t)-f0(t) \right | < \alpha \Rightarrow \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | < \varepsilon ) $
Or $ \left | f(t)-f0(t)) \right |\left | f(t)+f0(t)) \right | = \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | $
donc $ \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | < \left | f(t)+f0(t)) \right |* \alpha $
Et avec $ \left | f(t) \right | < \alpha + \left |f0(t) \right | $
On a $ \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | < \alpha ^{2} + 2\alpha\left \| f0(t)) \right \| < (\alpha +\left \| f0(t) \right \|)^{2} $
Donc je voulais poser $ \varepsilon = (\alpha +\left \| f0(t) \right \|)^{2} $ mais ca serait absurde car on aurait pas toujours $ \varepsilon > 0 $
Je vois donc pas quoi faire d'autre
Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé
Une fois que tu as l inegalite avec alpha carré + 2 alpha norme de f0 tu peux t arrêter à priori tu as tout pour conclure. En effet si tu te donnes epsilon pour alpha très proche de 0 tu as exactement ce que tu veux