Intégrale MPSI

[Piroueman]

Bonsoir,

Soit f une fonction de 0;1 dans R continue, déterminer la limite de $ lim\int_{0}^{1}f(t^n)dt $.

Par inégalité triangulaire, appliqué à l'intégrale de f-f(0) sur 0;1 et en utilisant la continuité de f en 0, j'ai trouvé que la limite tendait vers f(0). Pourtant, il y a un problème majeur de dépendance de variable dans mon raisonnement, mais je n'arrive pas à le trouver, sachant que l'exercice se fait normalement en intégrant la fonction sur deux intervalles distincts.

J'ai donc écrit chaque énoncé avec des quantificateurs mais je ne vois toujours pas mon problème de dépendance :

Pour tout $ \eta $ il existe un N tel que pour n>N t^n<$ \eta $
Par continuité de f en 0 Pour tout e il existe un $ \eta $ tel que abs(f(x)-f(0))<e
Donc n dépend de $ \eta $ et $ \eta $ dépend de e.
Donc pour n>N je peux majorer mon intégrale, ce qui conclut


Où est ma faute

[Calli]

Bonsoir,

Pour tout $ \eta $ il existe un N tel que pour n>N t^n<$ \eta $

Ton $t$ n'est pas quantifié, ça ne vas pas. Tu peux avoir ce que tu dis pour un $t$ fixé, et même pour tous les $t<a<1$ où $a$ est fixé, mais pas pour tout $t\in[0,1]$ ou pour tout $t\in[0,1[$ car $1^n=1$.

[Piroueman]

Le problème vient juste de là ?

Donc il suffit de couper nos intégrales sur l'intervalle 0,a et a;1 on montre que la première intégrale tend vers 0 avec ce qui a été dit précédemment et pour la deuxième intégrale on fait tendre a vers 1 pour montrer qu'elle tend vers 0 et on conclut ?

[Calli]

Oui, c'est ça en gros.

[Piroueman]

Merci bien

[Nabuco]

Après là tu as un problème : à a fixé l'intégrale entre 0 et a tend vers 0, lorsque tu fais tendre a vers 0 l'intégrale entre a et 1 tend vers 0 mais tu ne peux pas faire tout tendre vers 0.
Pour faire un raisonnement correct, donne toi epsilon>0, ensuite fixe a pour avoir en valeur absolue l'intégrale entre a et 1 petite par rapport à epsilon, puis montre que pour n grand l'intervalle de gauche en valeur absolue est petite par rapport à epsilon et conclut.