Démonstration du critère d’Euler

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Démonstration du critère d’Euler

Message par gloomy » 19 janv. 2020 17:44

Bonjour,
Je bloque sur une question d’un exercice
Soit a appartenant à Z tel que a n’est pas un résidu quadratique modulo p
Avec p premier impair et p et a premiers entre eux

La question:
Montrer que la classe de (p-1)! = classe de a le tout à la puissance (p-1/2)
Quand je dis classe c’est dans Z/pZ
Sachant que dans la question d’avant il fallait redémontrer le petit théorème de Fermat

Merci
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par Hypertore » 19 janv. 2020 18:08

Tu peux d'abord montrer le théorème de wilson : p premier $ \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1 \mod{p} $
Pour ça, intéresse-toi aux éléments de Z/pZ qui sont leur propre inverse
Ensuite montre que a est un non résidu quadratique $ \Leftrightarrow a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \mod{p} $, pour ça intéresse-toi aux racines du polynôme $ X^{\frac{p-1}{2}} -1 $
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par Nabuco » 19 janv. 2020 18:11

Hypertore a écrit :
19 janv. 2020 18:08
Tu peux d'abord montrer le théorème de wilson : p premier $ \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1 \mod{p} $
Pour ça, intéresse-toi aux éléments de Z/pZ qui sont leur propre inverse
Ensuite montre que a est un non résidu quadratique $ \Leftrightarrow a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \mod{p} $, pour ça intéresse-toi aux racines du polynôme $ X^{\frac{p-1}{2}} -1 $
Ca me semble une solution naturelle mais probablement pas celle attendue.

Groupe tes termes du produit 1... (p-1) pour faire apparaître des a modulo p. Par exemple tu peux grouper 1 avec le terme congru à a mod p, etc. Vérifie bien que tu utilises que a n'est pas un carré.

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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par gloomy » 19 janv. 2020 18:27

Il y avait une indication pardon:
Utiliser l’application qui à x associe x^-1*(a barre)
Sachant que x c’est les éléments de z/pz tels que x^2 = a modulo p
Mais là justement a n’est pas un carré donc je ne comprends pas
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par gloomy » 19 janv. 2020 18:28

Et la question d’après demande de démontrer le théorème de Wilson donc ce n’est définitivement pas cette solution
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par gloomy » 19 janv. 2020 18:39

Nabuco a écrit :
19 janv. 2020 18:11
Hypertore a écrit :
19 janv. 2020 18:08
Tu peux d'abord montrer le théorème de wilson : p premier $ \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1 \mod{p} $
Pour ça, intéresse-toi aux éléments de Z/pZ qui sont leur propre inverse
Ensuite montre que a est un non résidu quadratique $ \Leftrightarrow a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \mod{p} $, pour ça intéresse-toi aux racines du polynôme $ X^{\frac{p-1}{2}} -1 $
Ca me semble une solution naturelle mais probablement pas celle attendue.

Groupe tes termes du produit 1... (p-1) pour faire apparaître des a modulo p. Par exemple tu peux grouper 1 avec le terme congru à a mod p, etc. Vérifie bien que tu utilises que a n'est pas un carré.
J’ai essayé votre méthode Nabuco et «ça marche » avec de petits nombres, mais je n’arrive pas à comprendre la raison😅
Pourquoi peut-on regrouper ainsi les termes de (p-1)! pour retrouver ainsi (p-1)/2 fois à modulo p
Il s’agit sûrement de propriétés de z/pz
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par JeanN » 19 janv. 2020 18:58

Démontre que pour chaque x il existe un unique y distinct de x tel que xy =a (tout ceci dans Z/pZ*)
Ensuite crée une partition de Z/pZ* par paquets de 2 et enfin, calcule (p-1)! Modulo p
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par gloomy » 19 janv. 2020 19:06

Est-ce que sinon je peux utiliser un isomorphisme entre les éléments de z/pz et les a^k ? Puisque a est un générateur de z/pz, et ensuite calculer les 2 produits
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par gloomy » 19 janv. 2020 19:07

JeanN a écrit :
19 janv. 2020 18:58
Démontre que pour chaque x il existe un unique y distinct de x tel que xy =a (tout ceci dans Z/pZ*)
Ensuite crée une partition de Z/pZ* par paquets de 2 et enfin, calcule (p-1)! Modulo p
Je vais essayer merci en espérant que ça me fasse utiliser la méthode de l’indication
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Re: Démonstration du critère d’Euler

Message par matmeca_mcf1 » 19 janv. 2020 19:12

Le but final de l'exercice est-il de montrer que $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^* $ est cyclique avec les outils de prépas ?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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