Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Xmines » 12 févr. 2020 19:06

Bon pour relancer le sujet,

Trouver les $ \alpha $ tel que $ n^{\alpha} \in \mathbb{N} $ avec $ n \in \mathbb{N} $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tass » 12 févr. 2020 22:52

Il suffit pas de prendre le log dans $ n^\alpha = k $ ?
Ou bien il y a une subtilité qui m'échappe ? (en dehors des cas n=0 ou n=1 ou la réponse est triviale)

Edit:
Sinon, un exo sympa mais pas évident du tout (à mon avis) est le suivant:

Soient $ F_1, F_2 \ldots F_{d+1} $ des pairs de points dans $ \mathbb{R}^d $ tels que tous les points sont différents. Montrer qu'il est possible d’écrire $ F_1 = \{a_1,b_1\}, F_2 = \{a_2,b_2\}, \ldots F_{d+1} = \{a_{d+1},b_{d+1}\} $ tel que l'enveloppe convexe des $ a_i $ et celle des $ b_i $ s'intersectent (i.e. il existe un point $ y $ qui peut s’écrire à la fois comme une combinaison convexe des $ a_i $ et comme une combinaison convexe des $ b_i $).

La solution que je connais est pas compliquée à comprendre mais plutôt astucieuse.
Dernière modification par Tass le 13 févr. 2020 09:07, modifié 1 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 08:56

Il faut trouver les alpha réels tels que pour tout entier n, n^alpha soit entier.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tass » 13 févr. 2020 09:08

Ah oui j'ai mal compris le problème, j'ai cru que c'était en fonction de $ n $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 09:50

Xmines a écrit :
12 févr. 2020 19:06
Bon pour relancer le sujet,

Trouver les $ \alpha $ tel que $ n^{\alpha} \in \mathbb{N} $ avec $ n \in \mathbb{N} $
Problème loin d'être évident au premier abord....

Les entiers naturels sont visiblement solutions. On montre sans peine (j'omet la preuve qui ne sert pas pour la suite) que les rationnels non entiers ne peuvent être solutions, ce qui donne envie de montrer que seuls les entiers naturels sont solutions.

Si $ x < 0 $, notons qu'on a $ 0<2^x< 1 $ qui ne peut être entier.

Pour se donner des idées, regardons le cas $ x\in ]0,1[ $. On remarque alors que $ n\mapsto n^x $ est strictement croissante, mais croit assez lentement, trop lentement pour étre égale à des entiers distincts pour tout entier n.
Pour justifier cela, remarquons qu'on a $ (n+1)^x - n^x\to 0 $, si bien que si $ n^x $ entier pour tout n, $ (n+1)^x - n^x = 0 $ pour n assez grand ce qui est absurde .

Pour $ x\in]1,2[ $, le raisonnement précédent ne marche plus, on a envie de se ramener au cas précédent en étudiant $ (n+1)^x - n^x $, ce qu'on fait en remarquant que si on fait la transformation précédente 2 fois on obtient :
$$ (n+2)^x - 2(n+1)^x + n^x = n^x\left[ (1 + 2x/n - 2 - 2x/n + 1+ O(1/n^2)\right] = O(1/n^{2-x}) $$
Si bien que si x solution, pour $ n $ assez grand, on a $ (n+2)^x - (n+1)^x = (n+1)^x - n^x $, ce qui contredit la stricte convexité de $ n\mapsto n^x $ pour $ x>1 $.

Passons au cas général :
Soit $ n\ge 1 $, et $ x\in ]n,n+1[ $.
Considérons alors l'opérateur $ \Delta : (u_n) \mapsto (u_{n+1} - u_n) $, que nous avons utilisé avant. Remarquons que, si on applique l'analogue de $ \Delta $ sur un polynôme de degré d, on obtient un polynòme de degré strictement inférieur.
Écrivons la développement de $ x\mapsto (1+x)^{\alpha} $ au voisinage de 0 :
$$ (1+x)^{\alpha} = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i + O(x^{n+1}) $$
Si on applique $ \Delta^{n+1} $ à droite, pour $ x = 1/k $ on obtient alors :
$$ k^{\alpha} \Delta^{n+1}( ( 1+ 1/k^{\alpha})^{\alpha}) = O(1/k^{n+1}) $$
Donc en posant $ u_k = k^{\alpha} $, on a $ \Delta^{n+1}(u)_k\rightarrow 0 $.
Ainsi, pour $ x $ solution, et k assez grand, cette quantité est nulle. mais en poussant le DL de $ (1+x)^{\alpha} $ un cran plus loin, on montre qu'elle est certe petite, mais non nulle pour k assez grand : contradiction.

Conclusion : les seules solutions sont les entiers positifs, comme attendu.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 09:55

Un problème rigolo :

Peut-on trouver une partie E non dénombrable de $ P(\mathbb{N}) $ qui soit totalement ordonnée pour l'inclusion ? (Si $ A,B\in E, A\subseteq B \text{ ou } B\subseteq A) $
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tass » 13 févr. 2020 12:35

Mon premier instinct c'est de mettre $ \mathbb{N} $ en bijection avec $ \mathbb{Q} $ puis de travailler sur $ \mathbb{Q} $. Ensuite, on définit $ E = \{\{z \in \mathbb{Q} \mid z<x\} \mid x \in \mathbb{R}\} $. Cet ensemble est clairement indénombrable étant donné qu'il est en bijection avec $ \mathbb{R} $. De plus, l'ordre de l'inclusion sur $ E $ correspond à l'ordre usuel sur $ \mathbb{R} $, donc $ E $ est totalement ordonné pour l'inclusion.

J'ai bon ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Xmines » 13 févr. 2020 16:42

Bravo Errys !
Il existe d’autre variante de solution que je posterai sous peu

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Errys » 13 févr. 2020 21:02

Tass a écrit :
13 févr. 2020 12:35
Mon premier instinct c'est de mettre $ \mathbb{N} $ en bijection avec $ \mathbb{Q} $ puis de travailler sur $ \mathbb{Q} $. Ensuite, on définit $ E = \{\{z \in \mathbb{Q} \mid z<x\} \mid x \in \mathbb{R}\} $. Cet ensemble est clairement indénombrable étant donné qu'il est en bijection avec $ \mathbb{R} $. De plus, l'ordre de l'inclusion sur $ E $ correspond à l'ordre usuel sur $ \mathbb{R} $, donc $ E $ est totalement ordonné pour l'inclusion.

J'ai bon ?
Oui c'est juste :) bravo !
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Tristan33 » 20 févr. 2020 16:11

Un méchant exercice s'il n'a pas encore été posé précédemment :

Soit $ f $ une fonction réelle de classe $ C^{2} $ sur un segment $ [a, b] $
On suppose qu'il existe $ \lambda>0 $ tq: $ \forall x \in [a, b], \lambda \le f^{''}(x) $

Montrer que $ \mid \int_{a}^{b} e^{if(x)} \, \mathrm{d}x \mid \le \frac{8}{\sqrt \lambda} $

(indic à la demande)

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