Bonjour à tous,
Je me demandais simplement si pour toute bijection f de N dans N, les suites (f(n)) et (n) étaient équivalentes.
Je n'arrive ni à trouver de contre-exemple ni à le démontrer.
Merci d'avance pour toute réponse.
Bijection de N dans N
Re: Bijection de N dans N
Quelle est la définition de ce que sont les suites équivalentes ?
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) 
Re: Bijection de N dans N
Bonjour,
Ces suites ne sont pas forcément équivalentes. Voici un exemple.
Tout entier $ n>0 $ s'écrit de façon unique sous la forme $2^{k_n} (2p_n+1)$ avec $k_n,p_n\in\Bbb N$. Posons $f(n) = 2^{p_n} (2k_n+1)$ (on intervertit $k_n$ et $p_n$). Alors $f $ est une bijection de $\Bbb N^*$ car elle est la composée $g \circ e\circ g^{-1}$ où $g: (k,p) \mapsto 2^k (2p+1)$, $g^{-1}: n \mapsto (k_n,p_n)$ et $e : (k,p)\mapsto (p,k)$ sont bijectives. On peut prolonger $f$ en une bijection de $\Bbb N$ en posant $f(0)=0$. Alors $f(2p+1) = 2^p$ qui n'est pas équivalent à $ 2p+1$.
Ce qui est vrai en revanche c'est que, si $\dfrac{f(n)}n$ a une limite, alors cette limite est $1$.
Ces suites ne sont pas forcément équivalentes. Voici un exemple.
Tout entier $ n>0 $ s'écrit de façon unique sous la forme $2^{k_n} (2p_n+1)$ avec $k_n,p_n\in\Bbb N$. Posons $f(n) = 2^{p_n} (2k_n+1)$ (on intervertit $k_n$ et $p_n$). Alors $f $ est une bijection de $\Bbb N^*$ car elle est la composée $g \circ e\circ g^{-1}$ où $g: (k,p) \mapsto 2^k (2p+1)$, $g^{-1}: n \mapsto (k_n,p_n)$ et $e : (k,p)\mapsto (p,k)$ sont bijectives. On peut prolonger $f$ en une bijection de $\Bbb N$ en posant $f(0)=0$. Alors $f(2p+1) = 2^p$ qui n'est pas équivalent à $ 2p+1$.
Ce qui est vrai en revanche c'est que, si $\dfrac{f(n)}n$ a une limite, alors cette limite est $1$.
Re: Bijection de N dans N
Ça valait bien le coup de sécher les 13 premières !