Matrice diagonale par blocs de rang plein
Matrice diagonale par blocs de rang plein
Bonjour,
je suis face à un exo où j’aimerais démontrer qu’un bloc d’une matrice diagonale par blocs est de rang plein.
J’ai réussi à montrer que la matrice totale (carrée de dimension n+p) est de rang plein.
Son bloc supérieur gauche est In,
supérieur droit est (0)
inférieur gauche est (0)
inférieur droit est de la forme Ip-AB.
Est-il standard en MPSI de dire que la matrice étant diagonale par blocs et inversible, chaque bloc est lui meme inversible, donc en particulier Ip-AB?
Sinon, comment montrer que Ip-AB est bien de rang p?
je suis face à un exo où j’aimerais démontrer qu’un bloc d’une matrice diagonale par blocs est de rang plein.
J’ai réussi à montrer que la matrice totale (carrée de dimension n+p) est de rang plein.
Son bloc supérieur gauche est In,
supérieur droit est (0)
inférieur gauche est (0)
inférieur droit est de la forme Ip-AB.
Est-il standard en MPSI de dire que la matrice étant diagonale par blocs et inversible, chaque bloc est lui meme inversible, donc en particulier Ip-AB?
Sinon, comment montrer que Ip-AB est bien de rang p?
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
J'imagine que rang plein indique inversible ?
Dans ce cas là, remarque que inversible équivaut à déterminant non nul. Or, le déterminant de la grosse matrice est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Et il est même égal à celui de Ip-AB, donc est inversible.
Dans ce cas là, remarque que inversible équivaut à déterminant non nul. Or, le déterminant de la grosse matrice est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Et il est même égal à celui de Ip-AB, donc est inversible.
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020
Ulm 2020-?
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
tu as sûrement raison mais on n’a pas encore fait les déterminants ... (donc c’est censé pouvoir être fait sans j’imagine).
Y a t-il un autre argument sans déterminants en jeu?
Y a t-il un autre argument sans déterminants en jeu?
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2021-... : CentraleSupélec
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
Oui tu peux faire sans :
Il suffit de montrer que le noyau de I_p - AB est trivial. Pour cela, prend X dans le noyau, et considère le vecteur Y qui a ses n premières coordonnées nulles, et les p dernières égales à celles de X.
Y est dans le noyau de la grosse matrice, et donc Y nul (elle est inversible), d'où X nul. Ainsi, le noyau de I_p - AB est trivial donc Ip-AB inversible.
Il suffit de montrer que le noyau de I_p - AB est trivial. Pour cela, prend X dans le noyau, et considère le vecteur Y qui a ses n premières coordonnées nulles, et les p dernières égales à celles de X.
Y est dans le noyau de la grosse matrice, et donc Y nul (elle est inversible), d'où X nul. Ainsi, le noyau de I_p - AB est trivial donc Ip-AB inversible.
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
Autre solution : si tu utilises l'algorithme du pivot de Gauss sur la matrice I_p - AB, cela revient à le faire sur la grosse matrice ! Ce qui permet de relier le rang des deux matrices
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
Merci beaucoup!
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
Ou alors tu utilises de façon répétée le petit lemme qui doit trainer dans ton cours et qui valide l'algorithme du pivot pour le calcul du rang pour obtenir que le rang de ta matrice bloc est égal à 1+1+1+1.....+rg(I_p-AB)
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein
Effectivement il y est bien ! Merci monsieur.
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