Bonsoir,
Je sèche un peu sur cet exo(enfaite dans la correction ils ont pris un chemin complètement différent ):
Soit E un eV de dimension finie et G un sous groupe fini de Gl(E) montrer que tout sous espace vectoriel de E stable par tout les élèments de G admet un supplémentaire stable par tout les élèments de G.
J'ai penser a prendre P=(somme des éléments de G)/cardG on peut montrer que c'est un projecteur,donc Kerp et Imp sont en somme direct dans E on pose K un supplémentaire de FinterKerP dans Kerp et K' un supplémentaire de F inter Imp dans Imp,on peut alors montrer que que F et K+K' sont en somme direct dans E,je veux donc montrer que K+K' est stable par tout les éléments de G,mais j'y arrive pas trop(pourtant je suis presque sûr qu'on peut).
J'ai un "lemme" qui me permettrait de dire que K+K' est stable par p mais je vois pas comment conclure avec ca...
Difficulté sur un exercice d'algèbre
Re: Difficulté sur un exercice d'algèbre
Si je ne m'abuse, il n'est pas vrai en général que ton $ K+K' $ est stable par tous les éléments de $ G $.
Un petit contre-exemple :
Soit $ E = \mathbb{R}^3 $, $ u $ l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $ \left( \begin{array}{c c c}
-1 &0 & 0 \\
0&-1& 0\\
0&0&1
\end{array} \right) $. Posons $ G = \{ Id_E , -Id_E, u , -u\} $. On vérifie facilement que $ G $ est stable par passage à l'inverse (en fait tous les éléments de $ G $ sont leur inverse) et par multiplication : $ G $ est un sous-groupe fini du groupe linéaire de $ E $.
La somme des éléments de $ G $ est nulle. Donc dans ce que tu écris, $ P=0 $, autrement dit $ \ker P = E $ et $ \text{Im}~P = \{ 0 \} $.
Notons $ (e_1,e_2,e_3) $ la base canonique et prenons $ F = \text{Vect}(e_1,e_2) $, qui est manifestement stable par tous les éléments de $ G $.
Dans ce que tu écris, $ K' = \{ 0 \} $ et $ K $ est un supplémentaire quelconque de $ F $ dans $ E $. Par exemple $ K = \text{Vect}(e_2+e_3) $. Finalement $ K+K' = \text{Vect}(e_2+e_3) $ qui n'est pas stable par l'élément $ u $ de $ G $ car $ u(e_2+e_3) = -e_2 + e_3 \notin \text{Vect}(e_2+e_3) $.
Un petit contre-exemple :
Soit $ E = \mathbb{R}^3 $, $ u $ l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $ \left( \begin{array}{c c c}
-1 &0 & 0 \\
0&-1& 0\\
0&0&1
\end{array} \right) $. Posons $ G = \{ Id_E , -Id_E, u , -u\} $. On vérifie facilement que $ G $ est stable par passage à l'inverse (en fait tous les éléments de $ G $ sont leur inverse) et par multiplication : $ G $ est un sous-groupe fini du groupe linéaire de $ E $.
La somme des éléments de $ G $ est nulle. Donc dans ce que tu écris, $ P=0 $, autrement dit $ \ker P = E $ et $ \text{Im}~P = \{ 0 \} $.
Notons $ (e_1,e_2,e_3) $ la base canonique et prenons $ F = \text{Vect}(e_1,e_2) $, qui est manifestement stable par tous les éléments de $ G $.
Dans ce que tu écris, $ K' = \{ 0 \} $ et $ K $ est un supplémentaire quelconque de $ F $ dans $ E $. Par exemple $ K = \text{Vect}(e_2+e_3) $. Finalement $ K+K' = \text{Vect}(e_2+e_3) $ qui n'est pas stable par l'élément $ u $ de $ G $ car $ u(e_2+e_3) = -e_2 + e_3 \notin \text{Vect}(e_2+e_3) $.
Re: Difficulté sur un exercice d'algèbre
En effet ça a pas l'air de marcher,merci pour ta réponse!
Re: Difficulté sur un exercice d'algèbre
Sinon tu peux essayer d'adapter ton projecteur de sorte qu'il ait directement $ F $ pour image (mais j'imagine que c'était ce que faisait la correction dont tu parles).
Pour aller plus loin : cet exercice n'est pas juste un exercice anodin de prépa, c'est le théorème de Maschke qui est important en théorie des représentations de groupes (je dis ça parce que, quand j'étais en prépa, j'aimais bien savoir que ce que je faisais n'était pas qu'une taupinade).
Pour aller plus loin : cet exercice n'est pas juste un exercice anodin de prépa, c'est le théorème de Maschke qui est important en théorie des représentations de groupes (je dis ça parce que, quand j'étais en prépa, j'aimais bien savoir que ce que je faisais n'était pas qu'une taupinade).