Exercices de spécialité MATH Terminale S...
pour le premier exo d'emmo j'ai une solution mais elle est trop simple:
Clairement 2^n + 1 est impair ce qui force le numérateur a etre impair aussi pour que la fraction existe donc necessairement n² est congru a 1 modulo 2.
De cela on en deduis que (n-1)(n+1) est divisible par deux et comme c'est le produit de deux nombres distants de 2 alors vu que ce sont tous les deux des puissances de 2 l'un est egal a 4 et l'autre a 2 donc n=3 dans les deux cas.
Pour le deuxieme exo j'ai une solution...tres bizarre et j'arrive a prouver que a=1 et que b=2 ou 1 ( si je ne me trompe pas et j'arrive pas a demontrer que b n'est pa egal a 2 ( ou alors c'est que je me suis trompé ce qui est probable..))
Sinon je suis d'accord avec emmo pour preuve ces exos je les ai cherché tout a l'heure alors que j'avais prévu de "faire" de la bio....mais y'avait pas photo....
Clairement 2^n + 1 est impair ce qui force le numérateur a etre impair aussi pour que la fraction existe donc necessairement n² est congru a 1 modulo 2.
De cela on en deduis que (n-1)(n+1) est divisible par deux et comme c'est le produit de deux nombres distants de 2 alors vu que ce sont tous les deux des puissances de 2 l'un est egal a 4 et l'autre a 2 donc n=3 dans les deux cas.
Pour le deuxieme exo j'ai une solution...tres bizarre et j'arrive a prouver que a=1 et que b=2 ou 1 ( si je ne me trompe pas et j'arrive pas a demontrer que b n'est pa egal a 2 ( ou alors c'est que je me suis trompé ce qui est probable..))
Sinon je suis d'accord avec emmo pour preuve ces exos je les ai cherché tout a l'heure alors que j'avais prévu de "faire" de la bio....mais y'avait pas photo....
je pense qu'il considère qu'unee puissance de 2 à cette forme mais ça ne marche pas il me semble... honnêtement il me semble que c'est faux...exprime-toi mieux stp... si c'est juste, respect 
musichien pour ta démo, tu prouves que a=b est une solution et si je suis bien le théorème chinois, c'est la seule solution...
la seule question que je me poserais est la suivante:
AI-JE LE DROIT DE RAISONNER MODULO L'INFINI?
c'est le point faible de ta démo
emmo qui se dit que ce n'est pas juste car est oibligé de regarder les cours de l'OFM pour chercher les problèmes si il veut faire une démo courte
musichien pour ta démo, tu prouves que a=b est une solution et si je suis bien le théorème chinois, c'est la seule solution...
la seule question que je me poserais est la suivante:
AI-JE LE DROIT DE RAISONNER MODULO L'INFINI?
c'est le point faible de ta démo
emmo qui se dit que ce n'est pas juste car est oibligé de regarder les cours de l'OFM pour chercher les problèmes si il veut faire une démo courte
pour le 2 c'est clairement faux je l'accorde mais pour le 1 je crois que c'est faux mais il ne faut pas s'etonner parceque ca m'a paru tellement simple ( j'ai trouvé ca en 2-3 heures) en fait j'ai voulu utiliser une proprieté que j'ai deja vu qqpart mais je crois que ici ca ne marche pas......mais c'est pa grave ca remet les idées en place de fare des exos pareils......meme s'il faut de l'entrainement..
Sinon un petit exo:
Soit a,b,c et d 4 termes consecutifs d'une suite géometrique dont on sait que la raison de cette suite et un nombre premier avec a, determiner les 4 réels et la raison de la suite sachant que ces nombres verifient 10a²=d-b
Sinon un petit exo:
Soit a,b,c et d 4 termes consecutifs d'une suite géometrique dont on sait que la raison de cette suite et un nombre premier avec a, determiner les 4 réels et la raison de la suite sachant que ces nombres verifient 10a²=d-b
hmm il me semble que ce qui est plus haut est faux, c'est assez clair...
sinon pour ton problème, à première vue, avec ma première idée, je trouve plusieurs valeurs de q possibles... donc si on n'a pas de conditions supplémentaires, il y a definitly many solutions... well, if I'm right, I'm a bit disappointed i was expecting it would be more than just use Gauss...
sinon pour ton problème, à première vue, avec ma première idée, je trouve plusieurs valeurs de q possibles... donc si on n'a pas de conditions supplémentaires, il y a definitly many solutions... well, if I'm right, I'm a bit disappointed i was expecting it would be more than just use Gauss...
effectivement, c'est vraiment super simple (enfin je crois). Au fait, je crois que tu as oublié de dire que ce sont des entiers, mais c'est sous-entendu, sinon la primalité entre a et q n'a pas de sens.
Il suffit de poser b= qa et d=aq^3 et on simplifie direct par a dans l'équation ce qui donne 10a= q^3 - q = q (q-1) (q+1) donc q divise 10 ce qui donne 5 solutions pour q, qu'on essaye: n'oublions pas q = 0 et q=1 ce qui donne a= 0 mais on élimine sinon a et q ne sont pas premiers entre eux, et a=0 qu'on élimine idem pasque tout entier divise 0; ensuite il y a q=2 qui ne marche pas, q=5 qui donne a=12, on vérifie et ça marche, et enfin q=10 qui donne a=99 et comme 99²= (100-1)²=10000 - 200 +1 = 9801, ça marche bien.
2 solutions: (5,12) et (10,99)
Il suffit de poser b= qa et d=aq^3 et on simplifie direct par a dans l'équation ce qui donne 10a= q^3 - q = q (q-1) (q+1) donc q divise 10 ce qui donne 5 solutions pour q, qu'on essaye: n'oublions pas q = 0 et q=1 ce qui donne a= 0 mais on élimine sinon a et q ne sont pas premiers entre eux, et a=0 qu'on élimine idem pasque tout entier divise 0; ensuite il y a q=2 qui ne marche pas, q=5 qui donne a=12, on vérifie et ça marche, et enfin q=10 qui donne a=99 et comme 99²= (100-1)²=10000 - 200 +1 = 9801, ça marche bien.
2 solutions: (5,12) et (10,99)
Cela ne va servir à rien pour l'exo, juste à mettre sur la voie: n est toujours divisible par 3. En effet, mod n, on a 2^2n congru à 1 mod n ce qui est pareil mod p où p est le plus petit facteur premier de n, or avec fermat, on a 2^(p-1)= 1 (p) (congru bien sûr), or PGCD(2n, p-1)=2 PGCD(n,p-1)=2 car p-1 premier avec p et comme p est le plus petit facteur premier, p-1 est aussi premier avec les autres facteurs premiers donc avec n. On a donc 2^2=4=1 (p) donc p=3.
Cela sert à voir qu'il faut exprimer n comme n= 3^k *l pour l premier avec 3.
Après, il faut exprimer 2^n +1 en remplaçant n par son expression, puis factoriser de manière bizarre, avec 2^l +1 et un produit de k facteurs sous forme de trinôme (pas du ² degré). La formule se devine en factorisant x^3 +1 puis x^9 +1 en faisant intervenir la formule précédente (c'est-à-dire en factorisant par x^3 +1), et ainsi de suite par récurrence. Ensuite, on démontre que le produit est divisible par 3^k mais pas par 3^k+1 et cela en utilisant une congruence bien choisie pour chaque facteur (mod 9 en fait, car on peut alors exprimer que chaque facteur n'est pas multiple de 9). Cela montre que 3^k divise 2^l +1 donc k=0 ou 1 d'après la condition sur l( et en fait 1 d'après la démo plus haut). Il faut maintenant montrer que l=1. On utilise la même méthode que plus haut, en prenant p le diviseur premier le plus petit de l cette fois, supérieur à 5 car l est premier avec 3, pour arriver à p divise d où d est le PGCD de p-1 et 2n, soit p-1 et 2 * 3^k *l or p-1 est premier avec l donc d divise 6, ce qui donne 3, 7 et 63 pour valeur de p, soit 7 comme valeur possible. Maintenant, on montre que 7 ne divise pas 2^n +1 ce qui est immédiat par une congruence simple.
J'avais bien avancé, mais ce qui m'a bloqué, c'est la factorisation anarchiste au début. J'avais plutôt fait la 2ème partie de la démo. J'ai trouvé la soluce dans un livre.
Cela sert à voir qu'il faut exprimer n comme n= 3^k *l pour l premier avec 3.
Après, il faut exprimer 2^n +1 en remplaçant n par son expression, puis factoriser de manière bizarre, avec 2^l +1 et un produit de k facteurs sous forme de trinôme (pas du ² degré). La formule se devine en factorisant x^3 +1 puis x^9 +1 en faisant intervenir la formule précédente (c'est-à-dire en factorisant par x^3 +1), et ainsi de suite par récurrence. Ensuite, on démontre que le produit est divisible par 3^k mais pas par 3^k+1 et cela en utilisant une congruence bien choisie pour chaque facteur (mod 9 en fait, car on peut alors exprimer que chaque facteur n'est pas multiple de 9). Cela montre que 3^k divise 2^l +1 donc k=0 ou 1 d'après la condition sur l( et en fait 1 d'après la démo plus haut). Il faut maintenant montrer que l=1. On utilise la même méthode que plus haut, en prenant p le diviseur premier le plus petit de l cette fois, supérieur à 5 car l est premier avec 3, pour arriver à p divise d où d est le PGCD de p-1 et 2n, soit p-1 et 2 * 3^k *l or p-1 est premier avec l donc d divise 6, ce qui donne 3, 7 et 63 pour valeur de p, soit 7 comme valeur possible. Maintenant, on montre que 7 ne divise pas 2^n +1 ce qui est immédiat par une congruence simple.
J'avais bien avancé, mais ce qui m'a bloqué, c'est la factorisation anarchiste au début. J'avais plutôt fait la 2ème partie de la démo. J'ai trouvé la soluce dans un livre.