Definition de point

[Oka]

Un point serait alors un sous espace affine de direction le singleton vide ? Ça me paraît pas mal

Un point est un sous-espace affine de dimension 0, sa direction est l'espace vectoriel nul $ \{0\} $. Attention à ne pas confondre $ \{0\} $ avec $ \{\emptyset\} $ ou $ \emptyset $.

heu non pas exactement puisque un point est un element de l'espace affine il est donc pas a priori une partie (un sous espace) de l'espace affine, si ? le singleton contenant le point a la limite

[Siméon]

heu non pas exactement puisque un point est un element de l'espace affine il est donc pas a priori une partie (un sous espace) de l'espace affine, si ? le singleton contenant le point a la limite

Il s'agit effectivement d'un abus de langage assez courant, mais qui ne me semble pas trop dangereux.
Il est plus correct de dire que $ x \mapsto \{x\} $ définit une bijection entre les points et les sous-espaces affines de dimension 0.