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Je la prolonge par continuité en 0, et elle s'en trouve ainsi dérivable. Pas besoin de "prolonger par dérivabilité". Et mon exemple répond à ta question: non.

Une fonction de classe C1, en plus d'être dérivable, est continue.

Mais donc si une fonction est dérivable sur un segment, sa dérivée ne peut être que bornée ? Je le prouve par l'absurde comme l'a expliqué Jay Olsen ?

Lol quand j'ai cité j'avais droit à un x*sin(1/x)...

Oui j'ai édité pour rajouter le carré manquant, sûrement quelques secondes avant que tu cites.

Oui donc le coup du prolongeable par continuité donc prolongeable par "dérivabilité" humhum

TROLOLOL a écrit :Une fonction de classe C1, en plus d'être dérivable, est continue.

Mais donc si une fonction est dérivable sur un segment, sa dérivée ne peut être que bornée ? Je le prouve par l'absurde comme l'a expliqué Jay Olsen ?

Nan la dérivabilité implique la continuité. Ca se démontre.
De classe C1, c'est que la dérivée, elle, est continue ce qui est faux en général pour des fonctions simplement dérivables.

Le carré manquant initialement n'était qu'une simple faute de frappe, c'était bien sûr x^2 * sin(1/x) que j'avais en tête depuis le début

lsjduejd a écrit :

TROLOLOL a écrit :Une fonction de classe C1, en plus d'être dérivable, est continue.

Mais donc si une fonction est dérivable sur un segment, sa dérivée ne peut être que bornée ? Je le prouve par l'absurde comme l'a expliqué Jay Olsen ?

Nan la dérivabilité implique la continuité. Ca se démontre.
De classe C1, c'est que la dérivée, elle, est continue ce qui est faux en général pour des fonctions simplement dérivables.

Oui bien-sûr.

Je crois que je suis un peu fatigué, je reprendrai ça demain matin.
Merci à vous !

Jay Olsen a écrit :Sur un intervalle c'est trivial, car dérivée non bornée veut dire qu'elle est infinie en un point càd que la fonction n'est pas dérivable.. Exemple : racine sur [0,1].

C'est vrai dans l'exemple mais en général, ce n'est pas toujours le cas (c'est justement ce que cherche l'auteur de la question mais il impose en plus un segment donc unintervalle compact).
- Sur un intervalle non forcément compact : $ f: ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)=\ln(\cos(x)) $
- Même sur un segment (c'est ce que cherche l'auteur de la question):
On prends $ f: [-1,1] \to \mathbb{R}; x \mapsto \left\{\begin{array}{lcl} x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) &\text{si} & x \neq 0 \\ 0 &\text{si} & x= 0 \end{array} \right. $
En effet $ f'(0)=0 $ et si $ x \neq 0, f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{2}{x} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) $
Pour $ x_n=\sqrt{\frac{1}{2n\pi}}, n\in \mathbb{N}^* $, on a $ f'(x_n)=-\frac{2}{x_n}=-2\sqrt{2n\pi} $, donc $ \lim\limits_{n \to +\infty} f'(x_n)=-\infty $, ce qui prouve que $ f' $ n'est pas bornée sur $ [-1,1] $

Si je ne me trompe pas $ g: x \mapsto x^2 \sin\left(\frac 1x \right) $ ne marche pas sur un segment, en effet: $ g'(0)=0 $ et si $ x \neq 0 $ alors $ g'(x)= 2x \sin \left(\frac 1x \right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right) $, donc $ |g'(x)| \leq 2\delta + 1 $ où $ \delta $ est le diamètre du segment en question, donc $ g' $ est bornée sur tout segment, contrairement à ce que cherche l'auteur du topic. Sauf erreur de ma part.

Edit: correction du $ x_n $ gràce à la vigilience de oka (merci!)

y a un petit soucis avec ta suite $ x_n $ je crois (t'as le cos et le sin qui valent 1 en meme temps ?), mais on comprend l'idée