Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Je pense n'avoir aucun doute sur le fait que ce que écrit ce bouquin est faux, il faut bien sur considérer aussi les nombres premiers supérieur à N! et comme ceux-ci ne divisent pas N! on a pas leur multiple qui sont en nombre N/p exactement (N/p n'est même pas un entier la plupart du temps). Donc clairement la démonstration que tente cet exos en essayant de passer à la limite n -> oo est à jeter à la poubelle (ou sinon il faudrait estimer au moins l'erreur que l'on fait en ne considérant pas les autres nombres premiers et montrer que celle-ci tend vers 0).
L3 Physique/Math ENS Lyon
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Je ne sais pas si ça peut aider l'auteur du topic, mais une résolution similaire en utilisant la formule du crible et en introduisant la fonction de Möbius, se trouve dans le chapitre d'arithmétique du cassini algèbre 1. Il me semble qu'il n'y avait pas d'erreur dans la résolution, mais par contre si je suis certain que les 3 premières questions y figurent, je ne suis pas certain que la question 4 de l'exo de l'auteur y soit présente.
ENS Rennes
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Salut Karev !
Je l'ai justement résolu ce matin. L'exercice du cassini est, à mon avis, une généralisation de celui du topic (on donne la probabilité sur 1 à n et non sur 1 à n!).
Sur 1 à n!, on s'évite qu'il y est des nombres premiers plus petit que n mais qui ne divise pas n. Cette idée peut simplifier le problème mais je ne comprends pas la solution de l'auteur du livre, ca fait plaisir de trouver de gens pour en parler même le dimanche.
Je l'ai justement résolu ce matin. L'exercice du cassini est, à mon avis, une généralisation de celui du topic (on donne la probabilité sur 1 à n et non sur 1 à n!).
Sur 1 à n!, on s'évite qu'il y est des nombres premiers plus petit que n mais qui ne divise pas n. Cette idée peut simplifier le problème mais je ne comprends pas la solution de l'auteur du livre, ca fait plaisir de trouver de gens pour en parler même le dimanche.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
- Question.
- IMG_2003.JPG (1.17 Mio) Consulté 1923 fois
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
J'ai repéré une confusion que tu es en train de faire:
Dans l'énoncé les $ p_{k} $ sont des nombres premiers diviseurs de N=n!, i.e. ils sont dans la décomposition de N=n! et donc tu as raison quand tu dis que $ p_{k} \leq n $. MAIS, lorsque tu écris le prédicat de ton intersection (qui reste le même prédicat pour ton produit) tu te trompes d'ensemble! En effet $ P \cap F_{n!} $ (où tu as défini $ F_{n!}= ${$ 1,...,n! $} ) est un ensemble beaucoup plus gros que l'ensemble des $ p_{k} $ dans la décomposition de N=n!.
Si on note $ G_{n!} $ l'ensemble des nombres premiers dans la décomposition de n!, alors on a: $ \forall p \in G_{n!} $, $ p \leq n $ car $ p $ est dans des décompositions en facteur premiers de 1,...,n.
Cependant ton ensemble $ P \cap F_{n!} $ est beaucoup moins restrictif car il ne demande pas aux nombres premiers qui sont dedans de diviser n! (et donc un entier entre 1 et n).
L'erreur se situe donc sur le prédicat de l'intersection (dès la deuxième ligne de ta feuille jaune). Tu ne dois pas faire l'intersection sur $ P \cap F_{n!} $ mais sur $ G_{n!} $.
Dans l'énoncé les $ p_{k} $ sont des nombres premiers diviseurs de N=n!, i.e. ils sont dans la décomposition de N=n! et donc tu as raison quand tu dis que $ p_{k} \leq n $. MAIS, lorsque tu écris le prédicat de ton intersection (qui reste le même prédicat pour ton produit) tu te trompes d'ensemble! En effet $ P \cap F_{n!} $ (où tu as défini $ F_{n!}= ${$ 1,...,n! $} ) est un ensemble beaucoup plus gros que l'ensemble des $ p_{k} $ dans la décomposition de N=n!.
Si on note $ G_{n!} $ l'ensemble des nombres premiers dans la décomposition de n!, alors on a: $ \forall p \in G_{n!} $, $ p \leq n $ car $ p $ est dans des décompositions en facteur premiers de 1,...,n.
Cependant ton ensemble $ P \cap F_{n!} $ est beaucoup moins restrictif car il ne demande pas aux nombres premiers qui sont dedans de diviser n! (et donc un entier entre 1 et n).
L'erreur se situe donc sur le prédicat de l'intersection (dès la deuxième ligne de ta feuille jaune). Tu ne dois pas faire l'intersection sur $ P \cap F_{n!} $ mais sur $ G_{n!} $.
ENS Rennes
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
c'est le theoreme de Césaro dans la theorie des nombres
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Salut Karev.
Effectivement je ne comprends pas cette idée. Je me demande pourquoi prendre l'intersection sur $ G_{n!} $.
Voici où je bloque sur un exemple : Sur $ {1,...,120} $, je cherche à étudier l’événement $ (pgcd(X_{1}, X_{2}) = 1) $ pour cela il me suffit de dire qu'il n'existe aucun diviseur premier commun à $ X_{1} $ et $ X_{2} $ dans $ {1,...,5!} $.
Si je me contente de $ G_{5!} = {2,3,5} $ je peux très bien avoir que $ X_{1} $ prends la valeur 77 et $ X_{2} $ la valeur 91. Il ne sont pas pas premier entre eux.
Néanmoins sur $ F_{5!} \cap P $ on a pas ce problème.
Effectivement je ne comprends pas cette idée. Je me demande pourquoi prendre l'intersection sur $ G_{n!} $.
Voici où je bloque sur un exemple : Sur $ {1,...,120} $, je cherche à étudier l’événement $ (pgcd(X_{1}, X_{2}) = 1) $ pour cela il me suffit de dire qu'il n'existe aucun diviseur premier commun à $ X_{1} $ et $ X_{2} $ dans $ {1,...,5!} $.
Si je me contente de $ G_{5!} = {2,3,5} $ je peux très bien avoir que $ X_{1} $ prends la valeur 77 et $ X_{2} $ la valeur 91. Il ne sont pas pas premier entre eux.
Néanmoins sur $ F_{5!} \cap P $ on a pas ce problème.
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
La question 2 de l'énoncé te demande explicitement de tout d'abord calculer $ \mathbb{P}(p|X_{1} $ et $ p|X_{2}) $ avec $ p \in G_{n!} $.
Et on comprend alors que l'événement {$ X_{1} \wedge X_{2}=1 $} représente l'événement que deux entiers dans {$ 1,...,n $} soient premiers entre eux.
Cela répond également à l'interrogation du début de ce topic sur la question: pourquoi $ n! $ et pas $ n $?
En effet, comme le conseille l'énoncé, si on considère les $ p_k $ dans $ G_{n!} $ au lieu de $ P \cap F_{n!} $, alors en fait on se restreint aux nombres premiers compris entre $ 1 $ et $ n $. Et donc tout devient logique car alors la propriété spécifique des $ p_k \in G_{n!} $ permet (d'après la question 1) d'utiliser l'indépendance des événements $ A_{p_k} $, chose qui ne serait pas possible sur $ P \cap F_{n!} $.
En résumé:
Puisque l'événement {$ X_{1} \wedge X_{2}=1 $} représente l'événement que deux entiers dans {$ 1,...,n $} soient premiers entre eux, on doit nécessairement prendre les $ p_{k} \in G_{n!} $ pour d'une part que les $ p_{k} $ soient inférieur ou égal à $ n $ et d'autre part pour pouvoir utiliser l'indépendance des événements $ A_{k} $.
Ta troisième ligne sur ta feuille jaune est fausse, on a pas le droit d'utiliser l'indépendance de tes évenements lorsque $ p_{k} \in P \cap F_{n!} $ car ils ne sont pas nécessairement indépendants.
Et on comprend alors que l'événement {$ X_{1} \wedge X_{2}=1 $} représente l'événement que deux entiers dans {$ 1,...,n $} soient premiers entre eux.
Cela répond également à l'interrogation du début de ce topic sur la question: pourquoi $ n! $ et pas $ n $?
En effet, comme le conseille l'énoncé, si on considère les $ p_k $ dans $ G_{n!} $ au lieu de $ P \cap F_{n!} $, alors en fait on se restreint aux nombres premiers compris entre $ 1 $ et $ n $. Et donc tout devient logique car alors la propriété spécifique des $ p_k \in G_{n!} $ permet (d'après la question 1) d'utiliser l'indépendance des événements $ A_{p_k} $, chose qui ne serait pas possible sur $ P \cap F_{n!} $.
En résumé:
Puisque l'événement {$ X_{1} \wedge X_{2}=1 $} représente l'événement que deux entiers dans {$ 1,...,n $} soient premiers entre eux, on doit nécessairement prendre les $ p_{k} \in G_{n!} $ pour d'une part que les $ p_{k} $ soient inférieur ou égal à $ n $ et d'autre part pour pouvoir utiliser l'indépendance des événements $ A_{k} $.
Ta troisième ligne sur ta feuille jaune est fausse, on a pas le droit d'utiliser l'indépendance de tes évenements lorsque $ p_{k} \in P \cap F_{n!} $ car ils ne sont pas nécessairement indépendants.
ENS Rennes
Re: Probabilité que deux entiers soit premiers entre eux.
Super, tout devient clair.
L'énoncé est plutôt clair en fait, je n'ai pas essayé de prendre l'initiative de travailler sur $ {1,...,n} $ alors que les auteurs nous guidaient vers ce chemin.
Merci Karev, je vais pouvoir le terminer en fin d'aprem.
L'énoncé est plutôt clair en fait, je n'ai pas essayé de prendre l'initiative de travailler sur $ {1,...,n} $ alors que les auteurs nous guidaient vers ce chemin.
Merci Karev, je vais pouvoir le terminer en fin d'aprem.