Montrer f bijective (mpsi/l1)

[Iko]

C'est quoi le contraire de la propriété que tu veux montrer?
Si tu l'écris ça devrait t'aider

On cherche à prouver : f non surjective implique non(g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique g ronf f = h rond f, et g différent de f
Mais j'ai beau cherché je n'arrive pas à avancer..

C'est presque ça.
Indice: il ne faut pas supprimer le quantificateur.

Autre indice: penser à traduire g différent de h.

[Lucaz]

C'est quoi le contraire de la propriété que tu veux montrer?
Si tu l'écris ça devrait t'aider

On cherche à prouver : f non surjective implique non(g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique g ronf f = h rond f, et g différent de f
Mais j'ai beau cherché je n'arrive pas à avancer..

C'est presque ça.
Indice: il ne faut pas supprimer le quantificateur.

Autre indice: penser à traduire g différent de h.

On cherche donc à prouver : f non surjective implique non([quantificateur] g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique : Il existe un couple d'application de E dans E (g,h) tel que g ronf f = h rond f, et g(y) n'est pas égal h(y) ?

[Lucaz]

Salut !

Si f n'est pas surjective, il y a un point de E qui ne sera jamais atteint par f. Comment définir g, ou h, en ce point ?

g rond f et h rong f vont de E privé de ce point dans E mais je ne vois pas vraiment quoi faire de plus par rapport à h et g elles mêmes

Comme dans la question 1b), il faut choisir explicitement $ g $ et $ h $. Peux-tu t'arranger pour trouver un $ y $ tel que $ g(y) \neq h(y) $ tout en ayant $ g \circ f = h \circ f $ ?

J'ai cherché mais j'ai du mal à imager, on ne connaît pas h et g et elles ont le même ensemble d'application donc je vois pas vraiment où aller chercher ce y

[Iko]

On cherche à prouver : f non surjective implique non(g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique g ronf f = h rond f, et g différent de f
Mais j'ai beau cherché je n'arrive pas à avancer..

C'est presque ça.
Indice: il ne faut pas supprimer le quantificateur.

Autre indice: penser à traduire g différent de h.

On cherche donc à prouver : f non surjective implique non([quantificateur] g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique : Il existe un couple d'application de E dans E (g,h) tel que g ronf f = h rond f, et g(y) n'est pas égal h(y) ?

Oui c'est à peu près ça: tu veux montrer qu'il existe (g,h) tels que g != h et gof = hof.
Et g != h <=> il existe y dans E tq g(y) != h(y)

Tu ne vois pas comment exploiter l'indication de zetary à partir de ça?

[Lucaz]

C'est presque ça.
Indice: il ne faut pas supprimer le quantificateur.

Autre indice: penser à traduire g différent de h.

On cherche donc à prouver : f non surjective implique non([quantificateur] g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique : Il existe un couple d'application de E dans E (g,h) tel que g ronf f = h rond f, et g(y) n'est pas égal h(y) ?

Oui c'est à peu près ça: tu veux montrer qu'il existe (g,h) tels que g != h et gof = hof.
Et g != h <=> il existe y dans E tq g(y) != h(y)

Tu ne vois pas comment exploiter l'indication de zetary à partir de ça?

J'avoue que j'ai vraiment du mal à voir, c'est la première fois que je fais un exo de ce type (du coup je pense avoir raté la 1/b qu'il faudra que je re-traite), mais si on prend h(y)=f(y) et g(y)=y vu que f est non surjective on aurait g différent de h ? Sauf qu'après ça bloque pour gof = hof

[Lucaz]

C'est presque ça.
Indice: il ne faut pas supprimer le quantificateur.

Autre indice: penser à traduire g différent de h.

On cherche donc à prouver : f non surjective implique non([quantificateur] g rond f = h rond f implique g=f)
Soit f non surjective implique : Il existe un couple d'application de E dans E (g,h) tel que g ronf f = h rond f, et g(y) n'est pas égal h(y) ?

Oui c'est à peu près ça: tu veux montrer qu'il existe (g,h) tels que g != h et gof = hof.
Et g != h <=> il existe y dans E tq g(y) != h(y)

Tu ne vois pas comment exploiter l'indication de zetary à partir de ça?

Mais en fait on cherche g(x) différent de h(x), on a pris y comme une variable quelconque comme un x non ?

[Iko]

Oui y est une variable quelconque, tu peux l'appeler x ou même toto si ca te chantes

Pour avoir gof = hof comment définir h et g ?
Tu as déjà défini la valeur de h et de g lorsque y n'appartient pas à l'image de f (ie lorsque il n'existe pas de x tel que y = f(x) ) mais il faut les définir sur l'image de f aussi (l'ensemble des f(x) ).

[Lucaz]

Je me perds je crois, pourquoi gof=hof n'équivaut pas à [g(f(x))=h(f(x)) donc g=h] ?
Et quand ai je défini les valeurs de h et g quand y n'appartient pas à l'image de f ?

[Iko]

Car f n'est pas surjectif !
f(x) ne parcourt pas tout l'ensemble donc il existe d'autres éléments y qui ne vérifient pas forcément h(y) = g(y). Le but est ici justement de définir h et g de cette manière.

Et bien vu que f n'est pas surjective il existe y tq pour tout x, f(x) =! y.
Si g(y) = y et h(y) = f(y) alors h(y) != g(y) donc g!= h.

[Lucaz]

Car f n'est pas surjectif !
f(x) ne parcourt pas tout l'ensemble donc il existe d'autres éléments y qui ne vérifient pas forcément h(y) = g(y). Le but est ici justement de définir h et g de cette manière.

Et bien vu que f n'est pas surjective il existe y tq pour tout x, f(x) =! y.
Si g(y) = y et h(y) = f(y) alors h(y) != g(y) donc g!= h.

Mais lorsque que g(x)=y et h(x)=f(x), comment montre on qu'on a encore l'égalité gof=hof ?