suite convergente vers 0
Re: suite convergente vers 0
Effectivement, autant pour moi.
Re: suite convergente vers 0
Mon algorithme fonctionne.
Dans le cas que tu présentes, on ne repassera jamais dans les négatifs donc ce sera zéro oscillation autour de 0
Dans le cas que tu présentes, on ne repassera jamais dans les négatifs donc ce sera zéro oscillation autour de 0
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: suite convergente vers 0
Bonjour , je suis récemment revenu a ce problème , voici ma démonstration (si elle est pas fausse) , je me suis basé sur l'idée de Mr jean qui est très intuitif :
IL suffit de traiter le cas ou $ (a_{n}) $ est a terme strictement positif ,
Construisons $ (e_{n}) $ on commence par $ e_{0}=1 $ comme $ a_{0} >0 $
on pose $ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} $
comme $ S_{0} >0 $ on ajoute des termes négatif $ e_{k}a_{k} $ , $ k\geq 1 $ i.e $ e_{k}=-1 $ . La maintenant deux cas se présente , si on peut ajouter des termes de la sorte indéfiniment , sans que $ S_{n} $ ne change de signe , alors pour tout $ n\geq 0 $ $ S_{n} > 0 $ comme $ (S_{n}) $ est décroissante et minoré elle converge . Ce qui permet de conclure . Sinon , on dipose de $ m_{1} $ tel que $ s_{m_{1}-1} >0 $ , et $ S_{m_{1}} >0 $ on ajoute maintenant des termes positifs $ e_{k}a_{k} $ $ k \geq m_{1} $ $ e_{k}=1 $ , par un argument similaire si le processus ne s’arrête pas , $ (S_{n})_{n\geq m_{1}} $ est croissante majoré par 0 , donc converge , ce qui permet de conclure , sinon on revient au premier cas , Dans le cas empirique , le processus ne s’arrête pas on un nombre fini d'étape , et par suite on dispose ainsi du suite d'entier $ (m_{k}) $ strictement croissante tel que $ S_{n} $ est de signe constant sur l'intervalle $ [m_{i},m_{i+1}] $ , et change de signe en passant d'un intervalle a un autre . On pose $ P=\{n\in \mathbb{N}
|S_{n} >0\} $ et $ N=\{n \in \mathbb{N} | S_{n} < 0 \} $ , comme la différence entre $ S_{n} $ et $ S_{n-1} $ les termes se resserrent de plus en plus quand n devient trop grand , ce qui incite a penser que $ S_{n} $ ve converger vers $ 0 $ ; Démontrons ce constat :
Comme $ a_{n} \to 0 $ , soit $ r >0 $ on dispose de $ n_{0} $ tel que: $ |a_{n}|< r $ pour $ n\geq n_{0} $ , par ailleurs on dispose de $ m_{N} \geq n_{0} $ tel que $ M=m_{N} \in P $ et $ M+1 \in N $ car le termes ne peuvent pas resté dans que dans $ P $ (le processus s’arrêterait en un nombre fini d'étape a ce moment la , ce qu'on a exclu ) , comme $ |S_{M}-S_{M+1}|=|e_{M}a_{M}|=|a_{M}|< r $ alors $ S_{M} \in [-r,r] $, a partir de ce rang les termes ne vont plus ressortir de $ [-r,r] $ car on change se sens de variation une fois que $ S_{n} $ frôle 0 par des termes suffisamment petit , En effet Soit $ n >M $ supposons par l'absurde que $ S_{n}>r $ dans ce cas $ S_{n-1} $ ne peut être négatif , d'ou $ S_{n-1} >0 $ ainsi on a ajouter un terme négatif pour obtenir $ S_{n} $ par suite $ S_{n-1} > S_{n} >r $ on réitérons ce raisonnement on aboutit a $ S_{M} >S_{M+1}...>S_{n-1} >S_{n} >r $ absurde , un raisonnement montre que $ S_{n}<-r $ est impossible .
finalement $ \forall n >M : |S_{n}|< r $ , ce qui permet de conclure . ouf !
IL suffit de traiter le cas ou $ (a_{n}) $ est a terme strictement positif ,
Construisons $ (e_{n}) $ on commence par $ e_{0}=1 $ comme $ a_{0} >0 $
on pose $ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} $
comme $ S_{0} >0 $ on ajoute des termes négatif $ e_{k}a_{k} $ , $ k\geq 1 $ i.e $ e_{k}=-1 $ . La maintenant deux cas se présente , si on peut ajouter des termes de la sorte indéfiniment , sans que $ S_{n} $ ne change de signe , alors pour tout $ n\geq 0 $ $ S_{n} > 0 $ comme $ (S_{n}) $ est décroissante et minoré elle converge . Ce qui permet de conclure . Sinon , on dipose de $ m_{1} $ tel que $ s_{m_{1}-1} >0 $ , et $ S_{m_{1}} >0 $ on ajoute maintenant des termes positifs $ e_{k}a_{k} $ $ k \geq m_{1} $ $ e_{k}=1 $ , par un argument similaire si le processus ne s’arrête pas , $ (S_{n})_{n\geq m_{1}} $ est croissante majoré par 0 , donc converge , ce qui permet de conclure , sinon on revient au premier cas , Dans le cas empirique , le processus ne s’arrête pas on un nombre fini d'étape , et par suite on dispose ainsi du suite d'entier $ (m_{k}) $ strictement croissante tel que $ S_{n} $ est de signe constant sur l'intervalle $ [m_{i},m_{i+1}] $ , et change de signe en passant d'un intervalle a un autre . On pose $ P=\{n\in \mathbb{N}
|S_{n} >0\} $ et $ N=\{n \in \mathbb{N} | S_{n} < 0 \} $ , comme la différence entre $ S_{n} $ et $ S_{n-1} $ les termes se resserrent de plus en plus quand n devient trop grand , ce qui incite a penser que $ S_{n} $ ve converger vers $ 0 $ ; Démontrons ce constat :
Comme $ a_{n} \to 0 $ , soit $ r >0 $ on dispose de $ n_{0} $ tel que: $ |a_{n}|< r $ pour $ n\geq n_{0} $ , par ailleurs on dispose de $ m_{N} \geq n_{0} $ tel que $ M=m_{N} \in P $ et $ M+1 \in N $ car le termes ne peuvent pas resté dans que dans $ P $ (le processus s’arrêterait en un nombre fini d'étape a ce moment la , ce qu'on a exclu ) , comme $ |S_{M}-S_{M+1}|=|e_{M}a_{M}|=|a_{M}|< r $ alors $ S_{M} \in [-r,r] $, a partir de ce rang les termes ne vont plus ressortir de $ [-r,r] $ car on change se sens de variation une fois que $ S_{n} $ frôle 0 par des termes suffisamment petit , En effet Soit $ n >M $ supposons par l'absurde que $ S_{n}>r $ dans ce cas $ S_{n-1} $ ne peut être négatif , d'ou $ S_{n-1} >0 $ ainsi on a ajouter un terme négatif pour obtenir $ S_{n} $ par suite $ S_{n-1} > S_{n} >r $ on réitérons ce raisonnement on aboutit a $ S_{M} >S_{M+1}...>S_{n-1} >S_{n} >r $ absurde , un raisonnement montre que $ S_{n}<-r $ est impossible .
finalement $ \forall n >M : |S_{n}|< r $ , ce qui permet de conclure . ouf !
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .