Axiome du choix et construction par recurrence

[Zetary]

Si je ne me trompe pas, la réponse est non car cela équivaudrait à construire un bon ordre sur R, ce qui constitue en soi une forme faible d'axiome du choix (en particulier on aurait une base de $ \mathbb{R} $ comme $ \mathbb{Q} $-ev)

[siro]

Boarf... soit une théorie est trop ""faible"" et elle produira des énoncés indécidables (incomplétude), soit elle est trop "forte" et elle produira des énoncés contradictoires (incohérence). ZFC présente une incomplétude mais pas d'incohérence, il me semble, non ?

[siro]

(Après on peut construire une théorie incohérente et incomplète : soit une théorie T contenant Peano, posons T' = T + {Phi, non(Phi)} avec Phi une formule de T ; alors T' est incomplète et incohérente )

Mais c'est un peu l'idée, de mémoire (un spécialiste viendra peut-être confirmer) : soit on a trop, soit pas assez. (Soit la théorie n'est pas assez riche, c'est-à-dire qu'elle n'encode pas un truc gros comme Peano.)

[siro]

Pourtant je viens de construire une théorie incomplète et incohérente non ?

[siro]

Bah non. Si une théorie contient Peano, elle possède des énoncés indécidables... (ou je la refais autrement : soit T incomplète, alors T U {phi, non(phi)} = T' avec phi dans T est incomplète ET incohérente)

[oty20]

même en suivant des études orienté physique , vous fêtes de la logique poussé ?

[siro]

Non.

[darklol]

Bah non. Si une théorie contient Peano, elle possède des énoncés indécidables... (ou je la refais autrement : soit T incomplète, alors T U {phi, non(phi)} = T' avec phi dans T est incomplète ET incohérente)

Dattier a raison, tout est décidable dans ta théorie.

[matmeca_mcf1]

Je pense que vous vous posez trop de questions en logique mathématique/théorie des ensembles. La grande majorité des mathématiciens ne se préoccupent jamais des questions de logique mathématique, d'axiomes du choix ou de modèles. On utilise Zorn en analyse fonctionnelle et on le fait sans aucun état d'âme.

Avant de vous lancer dans des études de logique mathématique, ou de théorie des ensembles, vous devriez regarder les nombres de postes d'enseignant-chercheur avec un profil logique ou théorie des ensembles en CNU25. Chercher "opération postes", et regarder les profils de postes en MCF25 (maths pures). C'est quelque chose que vous devez absolument considérer si vous souhaitez intégrer une ENS puis vous orienter vers la recherche. Faire les choses pour l'art est attractif quand on a 20 ans, beaucoup moins quand on en a 30.

[Zetary]

Siro : Si T prouve phi et T prouve non phi alors T prouve (phi et non phi) c'est à dire T prouve faux, or tautologiquement pour tout énoncé psi, faux implique psi donc par modus ponens, T prouve psi, ainsi T est complète.