Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

[JeanN]

Puisque tu es en mp, tu as le droite d''utiliser les théorèmes d'intégration des relations de comparaison.
Notons l la limite de f en +infini.
Alors f(t)=l + o(1) et 1 est positive, non intégrable sur [0,+\infty[
Donc integ(f(t), t=0..x) = lx+ o(x)
Donc l = 0

[haw7ski]

Puisque tu es en mp, tu as le droite d''utiliser les théorèmes d'intégration des relations de comparaison.
Notons l la limite de f en +infini.
Alors f(t)=l + o(1) et 1 est positive, non intégrable sur [0,+\infty[
Donc integ(f(t), t=0..x) = lx+ o(x)
Donc l = 0

Parfait ! Merci beaucoup.

[haw7ski]

Mais dans cette démo, la décroissance ne sert à rien ? ...

[Nabuco]

Mais dans cette démo, la décroissance ne sert à rien ? ...

Si f est non décroissante elle n a pas forcément de limite. Aussi si je ne m'abuse la démo est fausse ne prenant pas en compte le cas où f tend vers - l infini.

[JeanN]

Ah oui !
Bon, ce n’est pas le cas le plus subtil à traiter

[oty20]

euh l'argument heuristique si je ne me trompe pas serait le suivant :

pour tout $ 0<x <y : f(x) \geq \int_{y}^{y+1} f(t) dt $ en faisant tendre $ y \to \infty $ on obtient que $ f(x)\geq 0 $.

pour la limite on dispose déjà de l'existence de la limite par décroissante de $ f $, on peut conclure en remarquant que $ \sum f(n) $ est de même nature que l’intégrale ... donc terme général tend vers $ 0 $.

[Helserdin]

La démonstration de "f converge en +$ \infty $ et f intégrable => f tend vers 0 en +$ \infty $" a déjà été donnée par JeanN, mais on peut aussi dire que si sa limite l est non nulle, alors f y est équivalente en $ +\infty $ donc elle aussi non intégrable (l de signe constant).

[haw7ski]

euh l'argument heuristique si je ne me trompe pas serait le suivant :

pour tout $ 0<x <y : f(x) \geq \int_{y}^{y+1} f(t) dt $ en faisant tendre $ y \to \infty $ on obtient que $ f(x)\geq 0 $.

Joli !

on peut conclure en remarquant que $ \sum f(n) $ est de même nature que l’intégrale ... donc terme général tend vers $ 0 $.

Euh ouii t'as raison mais ce n'est pas aussi simple que cela, le passage de $ \lim_{n\rightarrow \infty } f(n) = l $ à $ \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = l $ n'est pas si évident ..

[haw7ski]

La démonstration de "f converge en +$ \infty $ et f intégrable => f tend vers 0 en +$ \infty $" a déjà été donnée par JeanN, mais on peut aussi dire que si sa limite l est non nulle, alors f y est équivalente en $ +\infty $ donc elle aussi non intégrable (l de signe constant).

Oui donc en général une fonction monotone qui converge en +$ \infty $ et qui est intégrable sur Df tend vers 0 par un argument d'équivalence ( intégration des relations de comparaison) c'est ça ?

[Mathoss]

[Euh ouii t'as raison mais ce n'est pas aussi simple que cela, le passage de $ \lim_{n\rightarrow \infty } f(n) = l $ à $ \lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = l $ n'est pas si évident ..
[/quote]

Sisi ça l'est!
Par la décroissance de f, on peut écrire f([x]+1)<=f(x)<=f([x]) qui permet de conclure habilement par encadrement