Une inégalité intégrale
Re: Une inégalité intégrale
@oty20 : ta solution peut s'adapter à l'exercice initial et fournir une preuve bien plus simple que la mienne.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Une inégalité intégrale
Oui, il suffit de travailler avec $b$ directement sans passer par $c$.
Mais suite à votre remarque:
j'ai posté une solution de ce cas, pour faire d'une pierre deux coups
Mais suite à votre remarque:
j'ai posté une solution de ce cas, pour faire d'une pierre deux coups
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Une inégalité intégrale
Le cas $ f(a)=f(b)=0 $ peut être considéré comme un corollaire du cas où on a seulement $ f(a)=0 $ (équivalent au cas où on a seulement $ f(b)=0 $ par $ t=a+b-x $) :
avec $ c=\dfrac{a+b}2 $, $ \displaystyle\int_a^b|ff'|=\int_a^c|ff'|+\int_c^b|ff'|\leq \dfrac{c-a}2\int_a^c f'^2+\dfrac{b-c}2\int_c^b f'^2=\dfrac{b-a}4\int_a^b f'^2 $.
Il y a égalité pour $ f(x)=\lambda(x-a) $ si $ x\leq c $ et $ f(x)=\lambda(b-x) $ si $ x\geq c $ (fonction continue et de classe $ C^1 $ par morceaux).
On peut généraliser au cas où $ f(x_k)=0 $ avec $ x_k=a+k\dfrac{b-a}n $ pour $ 0\leq k\leq n $ :
$ \displaystyle\int_a^b|ff'|=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}|ff'|\leq \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x_{k+1}-x_k}4\int_{x_k}^{x_{k+1}}f'^2=\dfrac{b-a}{4n}\int_a^b f'^2 $.
Il y a égalité pour $ f(x)=\lambda(x-x_k) $ si $ x_k\leq x\leq \dfrac{x_k+x_{k+1}}2 $ et $ f(x)=\lambda(x_{k+1}-x) $ si $ \dfrac{x_k+x_{k+1}}2\leq x\leq x_{k+1} $ (fonction continue et de classe $ C^1 $ par morceaux).
avec $ c=\dfrac{a+b}2 $, $ \displaystyle\int_a^b|ff'|=\int_a^c|ff'|+\int_c^b|ff'|\leq \dfrac{c-a}2\int_a^c f'^2+\dfrac{b-c}2\int_c^b f'^2=\dfrac{b-a}4\int_a^b f'^2 $.
Il y a égalité pour $ f(x)=\lambda(x-a) $ si $ x\leq c $ et $ f(x)=\lambda(b-x) $ si $ x\geq c $ (fonction continue et de classe $ C^1 $ par morceaux).
On peut généraliser au cas où $ f(x_k)=0 $ avec $ x_k=a+k\dfrac{b-a}n $ pour $ 0\leq k\leq n $ :
$ \displaystyle\int_a^b|ff'|=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}|ff'|\leq \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x_{k+1}-x_k}4\int_{x_k}^{x_{k+1}}f'^2=\dfrac{b-a}{4n}\int_a^b f'^2 $.
Il y a égalité pour $ f(x)=\lambda(x-x_k) $ si $ x_k\leq x\leq \dfrac{x_k+x_{k+1}}2 $ et $ f(x)=\lambda(x_{k+1}-x) $ si $ \dfrac{x_k+x_{k+1}}2\leq x\leq x_{k+1} $ (fonction continue et de classe $ C^1 $ par morceaux).