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Après quelques recherches sur internet, je pense qu’il s'agit du théorème de Darboux.

D'accord bien vu .

Suppose qu'ils existent x,y tels que $$ x<y $$ avec $$ f(x)=f(y) $$
f est continue sur [x,y] donc l'image de [x,y] par f est un intervalle de R et en particulier f atteint son minimum et maximum sur [x,y] que l'on note respectivement m et M.
Si m ou M est atteint sur ]x,y[ alors la dérivée de f s'annule au point où l'extremum est atteint.
Sinon m et M sont atteints respectivement en x et y, ou en y et x.
Dans les deux cas on aura m=M=f(x)=f(y) et la fonction est donc constante sur [x,y] et à fortiori de dérivée identiquement nulle sur [x,y].
En conclusion la dérivée d'une fonction dérivable non injective sur un segment s'annule toujours, et donc la fonction que tu cherches n'existe pas
Par contre, parler de surjectivité/bijectivité n'a pas de sens si l'on ne spécifie pas l'ensemble d'arrivée de la fonction. L'injectivité par contre ne concerne que l'ensemble de définition de la fonction.

lamdba a écrit : ↑

08 juil. 2020 12:47

Après quelques recherches sur internet, je pense qu’il s'agit du théorème de Darboux.

Yes Darboux donne le résultat du TVI à la dérivée d'une fonction, qu'elle soit continue ou non. Bon exo d'analyse de le redémontrer.