Forum Prepas.org

oui, c'est vrai. Après, qu'en faire ?

Oups, l'inverse est involutive

Dans ma tête il y avait tous les inverses itérés de $ z $ qui étaient racine, mais le problème c'est qu'il n'y en a qu'au plus $2$...

jandri a écrit : ↑

28 juin 2021 21:48

Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.

Avec ton idée, ça me semble marcher pour $-1<a<1$ :

Pour $a=\pm 1$, ça me semble violent mais je crois que l'on peut utiliser un argument de continuité des racines complexes en fonction des coefficients :

Le cas $ a=\pm1 $ est le plus simple puisqu'on peut factoriser le polynôme sous la forme $ P_n=(X-a)(X^n+a) $

jandri a écrit : ↑

28 juin 2021 21:48

Pour le premier exercice dans le cas où $ a\in]-1,1[ $ il n'est pas difficile de montrer que $ |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 $.

Ce lemme est très utile, a-t-il une interprétation géométrique ?

En géométrie on montre que pour $ 0<a<1 $ l'ensemble des points M tels que $ \dfrac{AM}{BM}=a $ est un cercle dont un diamètre est le segment d'extrémités les deux points de la droite (AB) vérifiant l'égalité (cercle d'Apollonius).
Le point A étant à l'intérieur du cercle, la condition $ \dfrac{AM}{BM}<a $ est équivalente à "M est à l'intérieur du cercle".

Ici M, A et B ont pour affixes z, a et 1/a et le cercle est le cercle unité.
On a la même chose pour $ -1<a<0 $ avec $ \dfrac{AM}{BM}=|a| $

Jolie! Merci