Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Errys]

Hmmm l'hérédité marche ducoup, mais tu peux conclure que si il existe un rang N tel que $ U_{N+1}\le U_N $.

[Chronoxx]

Hmmm l'hérédité marche ducoup, mais tu peux conclure que si il existe un rang N tel que $ U_{N+1}\le U_N $.

C'est vrai que c'est plus compliqué d'initialiser. Elle est intuitive l'initialisation x)

[Errys]

C'est la difficulté de l'exo justement :p

[Wazzi]

Puisque quelqu'un a donné un truc horrible, je donne la solution classe à l'exo 11 ^^

SPOILER:

Soit $p_1,p_2...p_6$ les probabilités données à chaque résultat du dé 1, et $q_1,q_2...q_6$ celles du dé 2. La multiplication de polynômes se comporte comme les combinaisons de probabilités.
L'exo peut se résumer à :
"Est-il possible de trouver les $p_i$ et $q_i$ tels que les polynômes
$(p_6x^5+p_5x^4+...+p_1)\cdot (q_6x^5+q_5x^4+...+q_1)$
et
$\frac{1}{11}(x^{10}+x^9+...+x+1)$
soient égaux ?

La réponse est non, pour une jolie raison: le premier polynôme est produit de deux polynômes de degrés impair (voir l'exo 13), il admet donc une racine (il suffit pour s'en convaincre de faire tendre $x$ vers plus ou moins l'infini).
Le second n'en admet pas : il est égal à $\frac{1-x^{11}}{11(1-x)}$, qui n'admet aucune racines (le numérateur ne s'annule qu'en 1, qui n'est visiblement pas une racine).
Les deux ne peuvent donc pas être égaux !

[Ali-H]

donc $ \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+2} < \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+1} $ d'où le résultat.

Normalement, si j'ai pas fait de fautes.

Je crois que c'est racine de Un à droite

[Ali-H]

'

[Zetary]

Bonjour,

Exercice 15 : Que dire de deux suites à valeurs dans [0;1] et dont le produit tend vers 1 ?

[pasteak]

exercice 15:

SPOILER:

Montrons que les deux suites tendent vers 1.
On a $ \lim\limits_{n \to \infty}u_n \times v_n = 1 $, donc pour tout A > 0 on a à partir d'un certain rang pour tout n > n0, $ 1-A < u_n\times v_n < 1+A $.
Or le produit de deux entiers appartenant à $ [0,1] $ ne vaut 1 que si les deux entiers sont égaux à 1 ( $ a\times b =1, \text{or } 0\leq a \leq 1 \Rightarrow 1 \leq \frac{1}{a} $ donc a et b étant tous deux compris entre 0 et 1, ont montre réciproquement qu'ils valent tous les deux 1 ). Cela implique qu'à partir d'un certain rang $u_n$ et $v_n$ sont tous les deux proches de 1, donc ils convergent et $ \lim\limits_{n \to \infty}u_n = \lim\limits_{n \to \infty}v_n = 1 $

[Simon Billouet]

@pasteak : "ne pas tendre vers 1" est une propriété différente de "tendre vers quelque chose d'autre que 1".

[pasteak]

@pasteak : "ne pas tendre vers 1" est une propriété différente de "tendre vers quelque chose d'autre que 1".

Effectivement, je pense avoir trouvé un autre argument plus convaincant, j'édite le message précédent.