Forum Prepas.org

Posons $ $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $ $$x\mapsto x^{5}+x^{3}+x.$ La fonction $ $$f$ est $ $$\mathcal{C}^{\infty},$ impaire et vérifie $ $$f'(0)=1.$ Ainsi, $ $$f$ est donc un $ $$\mathcal{C}^{\infty}$ difféomorphisme au voisinage de $ $$0.$ Notons $ $$g$ cette inverse. Ainsi, son inverse $g$ admet un DL à tout ordre dans un voisinage de $ $$0$ par Taylor-Young. Par imparité de $ $$f$, on a également pour $ $$x \ll1,$ $ $$g(x)=ax+bx^{3}+cx^{5}+dx^{7}+ex^{9}+o(x^{9}).$ On utilise par composition des DL pour $ $ $x\ll1,$ $ $$$g(f(x))=x \mbox{ d'où } a(x+x^{3}+x^{5})+b(x+x^{3}+x^{5})^{3}+c(x+x^{3}+x^{5})^{5}+d(x+x^{3}+x^{5})^{7}+e(x+x^{3}+x^{5})^{9}+o(x^{9})=x.$$
Par unicité du DL de $ $$g$ en $ $$0,$ il vient en tronquant les DL le système triangulaire suivant $ $$$a=1;\mbox{ } a+b=0;\mbox{ }a+3b+c=0;\mbox{ } 6b+5c+d=0;\mbox{ } 6b+15c+7d+e=0.$$
Ainsi, on a $ $$$g(x)=x-x^{3}+2x ^{5}-4x^{7}+4x^{9}+o(x^{9}).$$

L'idée est produire un développement asymptotique du TG de la double série... L'ordre de sommation est imposé, on somme d'abord en $ $$j$ puis en $ $$i.$ Les calculs sont faits "formellement" car toutes les séries en jeu sont (semi-)convergentes. Posons pour $ $$x\geq 0,$ $S(x)=\sum_{k\leq x} (-1)^{k}.$ On a alors en procédant à une IPP que pour tout $ $$i\geq 1,$ $ $$$\sum_{j\geq 1} \frac{(-1)^{j}}{\sqrt{i+j}}=\int_{1}^{+\infty}\frac{dS(x)}{\sqrt{i+x}}=\left[ \frac{S(x)}{\sqrt{i+x}} \right]_{1}^{+\infty}+\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}dx.$$

On regarde alors la série de TG : $ $$(-1)^{i}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}.$ On a alors en procédant à une IPP comme précédemment que pour tout $ $$x\geq 1,$ $ $$$\sum_{i\geq 1}(-1)^{i}\frac{S(x)}{(i+x)^{\frac{3}{2}}}=\frac{3S(x)}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(y)}{(y+x)^{\frac{5}{2}}}dy=O(x^{-\frac{3}{2}}).$$ Ainsi, par le théorème de CV dominée puis par Fubini, on a $$\sum_{i\geq 1}(-1)^{i}\sum_{j\geq 1}\frac{(-1)^{j}}{\sqrt{i+j}}=\frac{3}{4}\int_{1}^{+\infty}\int_{1}^{+\infty}\frac{S(x)S(y)}{(x+y)^{\frac{5}{2}}}dxdy.$$ Cette dernière intégrale est bien absolument convergente par un changement de variables en coordonnées polaires et car S est bornée (on remarque que pour tout $ $$2k \leq x <2k+1,\mbox{ } S(x)=1$ et $2k+1 \leq x <2k+2, \mbox{ } S(x)=0$).