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pasteak a écrit : ↑

28 juin 2018 12:01

@Zetary Voilà l'idée que j'avais, je ne sais pas si c'est correct ou bien rédigé :

SPOILER:

De l'inégalité sur $u_n$ x $v_n$ on tire $ \frac{1-A}{v_n}\leq u_n\leq\frac{1}{v_n} $ ( car $ u_n \times v_n \leq 1 $ )
En faisant tendre A vers 0 on trouve par le théorème des gendarmes $ u_n=\frac{1}{v_n} $ donc comme démontré avec a et b, $u_n$ et $v_n$ valent 1.

Errys a écrit : ↑

27 juin 2018 21:14

Merci, je vais regarder. La preuve pour l'unicité est-elle bonne ?

matmeca_mcf1 a écrit : ↑

28 juin 2018 12:53

Errys a écrit : ↑

27 juin 2018 21:14

Merci, je vais regarder. La preuve pour l'unicité est-elle bonne ?

Vous avez montré que si on peut démarrer du jeton k (autre que 1), on ne peut pas démarrer du jeton 1. Il ne reste pas grand chose à faire pour montrer que si on peut démarrer du jeton k on ne peut démarrer d'aucun autre jeton. Donc, je pense que vous avez compris et l'idée y est mais la rédaction n'est pas là.

Wazzi a écrit : ↑

28 juin 2018 12:25

Une autre solution pour l'exo 13 (mais un peu HP).

SPOILER:

Théorème : Si $z$ est une racine complexe de $P$, alors le conjugué de $z$ (appelons conj($z$)) en est une également.
En effet, on peut se convaincre que $P(conj(z)=conj(P(z)),$ pour tout polynôme $P$ à coefficients réels.
Dès lors, puisque notre polynôme a un nombre impair de racines d'après le théorème fondamental de l'algèbre, elles ne peuvent être regroupées en paires de conjuguées, et par suite une au moins est réelle.