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$ \displaystyle\sum_{i=2}^{n}i(\log_{2} (\frac{i}{i-1})) = \sum_{i=2}^{n} \log_{2} (\frac{i}{i-1})^i = \sum_{i=2}^{n} \log_{2}(\frac{i^{i+1}}{(i-1)^i} \frac{1}{i}) $

En posant $ b_n = \log_{2} (n-1)^n $, t'obtiens :
$ \displaystyle\sum_{i=2}^{n}i(\log_{2} (\frac{i}{i-1})) =\sum_{i=2}^{n} (b_{i+1} - b_i - \log_{2} (i)) $

Tout se simplifie normalement. Et on retombe sur le même résultat que t'as proposé

Soit $ (u_n) $ et $ (v_n) $ les deux suites en question.
On a $ (u_n) $ monotone et bornée donc $ (u_n) $ converge vers un réel l.
De même, $ (v_n) $ converge vers un réel l'.

Si $ v_n\rightarrow 0 $ alors $ (1/v_n) $ diverge vers +/- infini donc par produit, $ (u_n/v_n) $ diverge vers +/- l'infini donc n'est pas borné ce qui est absurde.
D'où $ \lim\limits_{n\to+\infty}v_n\neq 0 $ et donc $ (1/v_n) $ converge vers 1/l'.
D'où $ u_n/v_n\rightarrow l/l' $

Donc la réponse est OUI.

$ (z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^4 + p^2(z-i)^2(z+i)^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2((z-i)^2+(p(z+i))^2) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2(z-i-ip(z+i))(z-i+ip(z+i)) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2(z-ipz-i-i^2p)(z+ipz-i+i^2p) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2 = 0 $ ou $ z(1-ip)-i+p = 0 $ ou $ z(1+ip)-i-p = 0 $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{i-p}{1-ip} $ ou $ z = \frac{i+p}{1+ip} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{(i-p)(1+ip)}{1+p^2} $ ou $ z = \frac{(i+p)(1-ip)}{1+p^2} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{i-p-p-ip^2}{1+p^2} $ ou $ z = \frac{i+p+p-ip^2}{1+p^2} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \frac{-2p}{1+p^2} + i\frac{1-p^2}{1+p^2} $ ou $ z = \frac{2p}{1+p^2} + i\frac{1-p^2}{1+p^2} $