Les dattes à Dattier

[oty20]

qu'elle hypothèse avez-vous ajouté ?

[matmeca_mcf1]

Je propose ceci pour l'inversion de limites. À mon sens, c'est le résultat le plus puissant que l'on puisse obtenir de manière élémentaire (pour une définition appropriée d'élémentaire)
Théorème d'inversion de limite
$ (a_{n,k}) $ double suite réel, qui vérifie
$$
\forall \epsilon >0, \exists N>0, \forall n\in \mathbb N,\forall m,\ell \in \mathbb N,\min(m,\ell)\geq N, \lvert a_{m,n}-a_{\ell,n}\rvert\leq \epsilon \\
\forall m\in\mathbb{N}, a_{m,n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}a_{m,\infty}\in\mathbb{R}
$$
A-t-on
$
\lim\limits_{n\to \infty} \lim\limits_{k\to \infty} a_{n,k} =\lim\limits_{k\to \infty} \lim\limits_{n\to \infty} a_{n,k}
$ ?

C'est assez facile avec la limsup mais elle n'est malheureusement pas au programme de prépa.

[matmeca_mcf1]

Je propose ceci pour l'inversion de limites. À mon sens, c'est le résultat le plus puissant que l'on puisse obtenir de manière élémentaire (pour une définition appropriée d'élémentaire)
Théorème d'inversion de limite
$ (a_{n,k}) $ double suite réel, qui vérifie
$$
\forall \epsilon >0, \exists N>0, \forall n\in \mathbb N,\forall m,\ell \in \mathbb N,\min(m,\ell)\geq N, \lvert a_{m,n}-a_{\ell,n}\rvert\leq \epsilon \\
\forall m\in\mathbb{N}, a_{m,n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}a_{m,\infty}\in\mathbb{R}
$$
A-t-on
$
\lim\limits_{n\to \infty} \lim\limits_{k\to \infty} a_{n,k} =\lim\limits_{k\to \infty} \lim\limits_{n\to \infty} a_{n,k}
$ ?

Prendre $ a_{m,n}= \frac{(-1)^m}{n} $, on est bien dans les conditions de ce résultat sans que $ \lim\limits_{ m\rightarrow \infty} a_{m,n} $ ne soit défini...

Cette suite ne vérifie pas la première condition puisqu'on a $ \lvert a_{m+1,1}-a_{m,1}\rvert=2 $.

[Hibiscus]

énoncé 100 : les points rationnelles du cercle
Trouver tous les points avec les coordonnés rationnelles du cercle trigonométrique.

Je suis une quichasse en maths, mais
Le cercle entier n'est-il pas censé être paramétré rationellement par $ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)~ , t\in \mathbb{Q} $
En ajoutant le point (-1,0), obtenu par limite en $ +\infty $
(et qu'accessoirement, l'ensemble de ces points rationnels a une propriété de groupe abélien, via la représentation polaire..)

[Hibiscus]

Bah tu pars de (-1,0), tu projettes dans la direction de n'importe quel point du cercle (x,y), sur l'axe des ordonnées, que tu appelles (0,t).. T'as donc tous les points sauf (-1,0), que tu obtiens a posteriori. Non ?
(puisque ta "droite de projection" est y=t(1+x), et le point (x,y) est sur le cercle..)

Rédigé plus mathématiquement si tu préfères, même si j'ai un peu la flemme
Les coordonnées étant fractions rationnelles d’un paramètre, on a bien une paramétrisation rationnelle.
Si t est rationnel, x et y sont des coordonnées d’un point rationnel du cercle. Réciproquement l'équation de la droite de projection
montre qu’un point rationnel du cercle est obtenu à partir d’un paramètre rationnel.
Les points rationnels du cercles sont donc exactement les points obtenus par les formules du post au dessus, à (-1,0) près, par construction.

[Thinking]

Solution 92 :

SPOILER:

La réponse est deux.
Supposons PA qu'on puisse le faire avec un rationnel : $ \frac{a}{b} $ alors on a : $ P(\frac{a}{b}) = k $ avec $ P $ a coefficients dans $ \mathbb{N} $[ mais on aussi : $ \sum a_i \cdot b^i\cdot X^i -\sum a_i \cdot a^i +k \ $ qui convient, absurde.(ou les $ a_i $ sont des entiers naturels, on a donc deux polynômes distincts ayant la même valeur en $ \frac{a}{b} $).
Sinon avec deux rationnels il est facile de déterminer les coefficents puisqu'il suffit d'effectuer :
$ j = P(1) $, puis on identifie les coefficients dans $ P(10^{j+1}) $
/spoiler]

[Thinking]

SPOILER:

Si on pouvait déterminer tous les coefficients d'un polynôme juste en calculant $ P(a/b) $ ça voudrait dire que le rationnel qu'on obtient en calculant $ P(a/b) $ nous donne assez d'informations pour déterminer les coefficients, mais on a montré que c'est faux puisqu'on a exhibé un autre polynôme qui à des coefficients naturels différents de $ P $ mais à la même valeur en $ a/b $. Donc dans tous les cas le nombre de questions est minorée par deux.
Pour deux on a la stratégie suivant :
On calcul $ P(1) $ on obtient donc la somme des coefficients de $ P $ puis il nous reste à identifier les coefficients un par un dans $ P(10^{j+1}) $

[siro]

Pourquoi P(10^{j+1}) et pas juste P(j+1) ?

[Thinking]

Parce-que si on demande à quelqu'un d'identifier les coefficients de tête c'est pas pratique la base $ j+1 $, mais ça marche aussi.

[Newton_]

Pour le 96 on peut commencer par approximer la dérivée de f par un polynôme positif. On choisit ensuite une primitive (judicieusement) du premier polynôme approximateur pour approximer f. L’avantage est d’uniquement utiliser la théorème de Weierstrass et plus le fait que ce dernier peut s’obtenir avec les polynômes de Bernstein !