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On pose pour tout entier $ n\ge 0 $, $ y_n = \dfrac{1}{2^n} $ qui est bornée et monotone.

De même, on pose pour tout entier $ n $ : $ x_{2n} = \dfrac{1}{2^{2n}} $ et : $ x_{2n+1} = \dfrac{1}{2^{2n}} $
Encore une fois, cette suite est bien bornée et monotone.

En revanche, pour tout entier n :
$$ \dfrac{x_{2n}}{y_{2n}} = \dfrac{\dfrac{1}{2^{2n}}}{\dfrac{1}{2^{2n}}}=1 $$
Et
$$ \dfrac{x_{2n+1}}{y_{2n+1}} = \dfrac{\dfrac{1}{2^{2n}}}{\dfrac{1}{2^{2n+1}}}=2 $$

Ainsi $ (x_n/y_n) $ est bornée, mais pas convergente !

Nous allons montrer par récurrence sur n que c'est possible quand il y a n jetons.

Hypothèse de récurrence: Si n jetons sont diposés sur un cercle, que chaque jeton a une valeur dans Z et que la somme de toutes les valeurs de ces jetons vaut 1, alors on peut choisir un jeton tel que les sommes partielles successives obtenues en sommant successivement les valeurs des jetons en partant dudit jeton puis en suivant le sens trigonométrique reste toujours strictement positive.

Initialisation: si n=1. Le jeton a pour valeur 1 donc en démarrant de ce jeton, on reste strictement positif

Récurrence: Soit n>=1. On suppose la propriété vraie pour n. Montrons qu'elle reste vraie pour le rang n+1. Soit n+1 jetons disposés sur un cercle tel que la somme des valeurs de ces jetons vaut 1. Comme la somme vaut 1, il existe un jeton X dont la valeur v_X est strictement positive. On crée un nouveau système de n jetons en remplaçant le jeton X et celui situé juste après dans le sens tigonométrique par un unique jeton dont la valeur est la somme des valeurs des deux jetons remplacés. On applique l'hypothèse de récurrence. On obtient l'existence d'un jeton Y pour le système à n jetons. Si Y est le jeton fusionné, on démarre de X, sinon on démarre de Y et on obtient un jeton qui convient pour le système à n+1 jetons (Le choix de X comme un jeton avec une valeur strictement positive intervient ici.

soit les divisions euclidiennes m = 24p + r et n = 24q + s

mn + 1 = 24(24pq + r + s) + rs + 1 est multiple de 24 donc rs + 1 est multiple de 24

un tableau donnant le produit rs avec r et s entier entre 0 et 23 donne la réponse

... donc m + n est multiple de 24


remarquer aussi que rs + 1 est multiple de 24 <=> rs est premier avec 24 <=> r et s sont premiers avec 24

Tout d'abord, essayons de trouver des choses qui caractérisent une fonction qui vérifie cette propriété :

Soit $ f $ une fonction qui vérifie les conditions,

EDIT : Inutile Montrons que $ f $ est injective,
En notant $ |A| $ la longueur d'un intervalle $ A $ on a :
Soit $ a,b,c $ des réels avec $ a<b<c $, on a $ |f([a;b])| = b-a $, $ |f([b;c])| = c-b $, $ |f([a;c])| = c-a $
Or, $ |f([a;c])| = |f([a;b])| + |f([b;c])| - |f([a;b])\cap f([b;c])| $ d'où $ f([a;b])\cap f([b;c]) = \{f(b)\} $

Ainsi, s'il existe $ (a;c)\in\mathbb{R}^2 $ tels que $ a<c $ et $ f(a) = f(c) $, Soit $ f $ est constante sur $ [a;c] $ et on arrive à une contradiction, soit il existe b tel que $ a<b<c $ et $ f(a)\neq f(b) $ et on arrive aussi à une contradiction car $ f([a;b])\cap f([b;c]) = \{f(b)\} $ et $ f(b)\neq f(a) $.

Ainsi, $ f $ est injective.

Montrons que $ f $ est strictement monotone.

Supposons par l'absurde que $ f $ n'est pas strictement monotone, cela veut donc dire que soit il existe $ a,b $ tels que $ f(a)=f(b) $ et $ a\neq b $ ce qui est absurde. Soit qu'il existe $ (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 $ avec $ a<b<c $ tels que $ f(a)<f(b) $ et $ f(b) >f(c) $.
On suppose sans perdre de généralité que $ f(a)>f(c) $, ainsi, $ f(c)<f(a)<f(b) $ donc $ f(a)\in [f(c); f(b)]\in f([c;b]) $. Ainsi, il existe $ d\in[c;b] $ tel que $ f(d)=f(a) $ ce qui est absurde car $ f $ est injective.

AInsi, $ f $ est strictement monotone.

On suppose $ f $ strictement croissante, quitte à prendre $ g=-f $.
Ainsi, pour tout $ a>0 $, $ f([0;a]) = [f(0); f(0) + a] $. Donc $ f(a) = f(0) + a $ car $ f $ est strictement croissante.
De même, pour tout $ b<0 $, $ f([b; 0]) = [b+f(0); f(0)] $ d'où $ f(b) = f(0) + b $.

Ainsi, pour tout $ x $ réel, $ f(x) = f(0) + x $ ou $ f(x) = -f(0) - x $ (car on avait supposé que $ f $ était strictement croissante quitte à prendre $ g = -f $).

Vérifions que toutes les fonctions de la forme $ f(x) = +/-x+C $ avec $ C\in\mathbb{R} $ vérifient les conditions :
Si $ f(x) = x + C $ alors pour tout a, b avec a<b, $ f([a; b]) = [a+C; b+C] $ qui est un intervalle de longueur $ b-a $.
Si $ f(x) = -x + C $ alors pour tout $ a,b $ avec $ a<b $, $ f([a;b] = [-b+C; -a+C] = -a+b = b-a $.

Ainsi, les solutions sont les fonctions $ f $ de la forme $ f(x) = +/- x+ C $ pour tout réel x et $ C $ un réel quelconque.