Exo 117 (il y a probablement plus simple)
SPOILER:
On pose :
\begin{equation}
x(0)=x_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
y(0)=y_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dx}{dt} = -(cos(\frac{x-y}{3}) + x)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dy}{dt} = -(sin(\frac{x+y}{3}) + y)
\end{equation}
\begin{equation}
V =\frac{dx}{dt}^{2} + \frac{dy}{dt}^{2}
\end{equation}
En calculant $\frac{dV}{dt}$, on obtient
\begin{equation}
\frac{dV}{dt} \le -\frac{V}{3}
\end{equation}
donc V est majoré par une exponentielle décroissante, donc $\frac{dx}{dt}$ et $\frac{dy}{dt}$ sont intégrables, donc x et y convergent en l'infini.
Ils convergent vers une solution de l'équation (on a donc existence d'une solution).
Soient maintenant (x1,y1) et (x2,y2) deux solutions de l'équa diff avec des conditions initiales différentes.
On pose
\begin{equation}
V = (x1 - x2)^{2} + (y1 - y2)^{2}
\end{equation}
On montre que
\begin{equation}
\frac{dV}{dt} \le -\frac{V}{3}
\end{equation}
Donc V tend vers 0 et (x1,y1) et (x2,y2) ont la même limite.
Les solutions de l'équation de départ étant des points fixes de l'équa diff, on a montré l'unicité.
\begin{equation}
x(0)=x_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
y(0)=y_{0}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dx}{dt} = -(cos(\frac{x-y}{3}) + x)
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dy}{dt} = -(sin(\frac{x+y}{3}) + y)
\end{equation}
\begin{equation}
V =\frac{dx}{dt}^{2} + \frac{dy}{dt}^{2}
\end{equation}
En calculant $\frac{dV}{dt}$, on obtient
\begin{equation}
\frac{dV}{dt} \le -\frac{V}{3}
\end{equation}
donc V est majoré par une exponentielle décroissante, donc $\frac{dx}{dt}$ et $\frac{dy}{dt}$ sont intégrables, donc x et y convergent en l'infini.
Ils convergent vers une solution de l'équation (on a donc existence d'une solution).
Soient maintenant (x1,y1) et (x2,y2) deux solutions de l'équa diff avec des conditions initiales différentes.
On pose
\begin{equation}
V = (x1 - x2)^{2} + (y1 - y2)^{2}
\end{equation}
On montre que
\begin{equation}
\frac{dV}{dt} \le -\frac{V}{3}
\end{equation}
Donc V tend vers 0 et (x1,y1) et (x2,y2) ont la même limite.
Les solutions de l'équation de départ étant des points fixes de l'équa diff, on a montré l'unicité.
