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Le résultat de l’exo tient en fait en une formule célèbre, souvent prise comme déf de l’exponentielle : $$ e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} $$ valable sur tout $ \mathbb{C} $. Il est intéressant de l’évaluer en 1 mais aussi d’en prendre les parties réelle et imaginaire…

Soit $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} $
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} $
Puisque $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $, on a $ k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2 $ et la somme devient $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)} $ qu'on peut réécrire $ S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : $ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
Donc $ S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} $
Enfin par téléscopage on a $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} $
Finalement $ S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1} $