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physique_physique : la fonction $ F $ est dérivable et strictement croissante (sa dérivée est $ f $ qui est à valeurs $ >0 $). Elle réalise donc une bijection de $ [0,1] $ sur $ [0,A] $.

mais il fallait déterminer les fonctions continues qui vérifient ça...

Autant pour moi (ou "au temps pour moi", je n'ai jamais su quelle orthographe adopter et je m'en fous). Mais je trouve ça un peu dégueulasse d'arriver à l'équation $ F(x) = \frac{x(F'(x)+\alpha)}{2} $ (où $ \alpha = f(0) $) parce qu'on est obligé de faire un recollement

Cryme et toi, vous dites la même chose ^^
Quand Cryme dit "on sait que c'est une solution continue vérifiant l'ED", il dit implicitement que les deux bouts doivent pouvoir être recollés (donc raccordement continu) et que ce raccordement doit, en outre, être dérivable en 0.

Parce que OUI, Cryme, on est obligés de couper l'intervalle de résolution car l'équation n'est pas autonome
C'est pour ça que je disais que je trouvais ça dommage, mais puisque je n'ai pas de meilleure solution à proposer je vais faire amende honorable

Oui pardon je me suis trompé. Quand je parlais de recollement dérivable en 0, je faisais allusion à $ F $ et non à $ f $... mais en réalité on obtient quand même une fonction $ F $ dérivable, quels que soient $ \beta_1 $ et $ \beta_2 $

Mais du coup, une telle fonction $ f $ affine par morceaux vérifie-t-elle le problème initial ? (Ce qu'il y a de terrible avec l'analyse-synthèse, c'est qu'on a toujours une immense flemme de faire la synthèse alors que ça pourrait restreindre les solutions au problème)

C'est bon j'ai trouvé : j'ai comparé$ \frac{1}{b-a} \int_a^{b} f(t) dt $ et $ \frac{f(a)+f(b)}{2} $ en prenant intentionnellement$ a<0 $ et $ b>0 $, puisqu'on a fait le "découpage" en 0. On a donc l'égalité entre les deux - ce qui était le problème initial - si et seulement si $ \beta_1 = \beta_2 $ donc $ f $ est bien affine sur $ \mathbb{R} $

Cryme a écrit :Sinon, ça marche par densité des diadiques dans les réels, je trouve ça beaucoup plus lisible que de résoudre une ED.

Et moins dégueulasse

pouuuuuuf pas la force pour ce soir, il faut que j'aille dîner et puis j'ai passé suffisamment de temps comme ça sur le forum aujourd'hui

Tu montres que $ Q $ admet un minimum (atteint en un point $ x $), puis tu regardes attentivement $ Q(x) $.

Mq il existe pour tout entier naturel n, n entiers composés consécutifs .