Doute sur une équivalence

[Deviling]

J'aimerai bien un exemple !
En gros, le principe, c'est que la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable mais non continu, comme les irrationnels ?
Mais par contre pour la mesure (je n'ai pas encore étudié) mais j'avais cru comprendre qu'être de mesure non nulle signifiait avoir du "continu", un intervalle.
Peux-être faut-il que j'arrête de vivre dans un monde où l'on est soit discret, soit continu...

Il existe des ensemble de mesure nulle mais non dénombrables, comme l'ensemble de Cantor si je me souviens bien.
Indénombrable ne signifie pas continu : pense à R\Q.

Oui, oui, j'm'en suis rendu compte, c'est pour ça que j'ai proposé le cas d'une fonction dont la dérivée s'annule sur les irrationnels.

Mais ensuite j'expliquais que j'avais une vision naïve où l'on hiérarchisait les ensembles ainsi : Dénombrable (Ex Q) / Indénombrable non continu (Ex R\Q) / Continu (Ex R)
Bien sur si on ne s'embête pas à réunir des ensembles de catégorie différentes...
Et dans cette vision, les deux premiers ensembles sont (selon moi) de mesures nulles, quand le troisième ne l'est pas.
Ainsi bien qu'ayant compris que ma propriété sur la stricte monotonie soit fausse, je ne comprends pas comment la fonction peut s'annuler sur un ensemble de mesure non nulle sans s'annuler sur un ensemble "continu" et donc n'être que croissante.

Je précise que j'ai très vaguement étudié en MP la notion de mesure, c'est donc pour cela que je me trompe.

[Valvino]

En fait un ensemble peut être "gros" d'un point de vue topologique, mais "petit" niveau cardinal ou de la mesure, on l'inverse etc... Il existe quelques liens entre les trois points de vue (genre dénombrable => mesure nulle) mais pas tant que ça en fait.

[sotwafits]

Pour trouver une fonction dérivable strictement croissante dont la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable, le plus simple est effectivement de partir de l'ensemble de Cantor $ K $ : commencer par construire une fonction continue sur $ [0,1] $ qui s'annule sur $ K $ et qui est strictement positive ailleurs

[Deviling]

Pour trouver une fonction dérivable strictement croissante dont la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable, le plus simple est effectivement de partir de l'ensemble de Cantor $ K $ : commencer par construire une fonction continue sur $ [0,1] $ qui s'annule sur $ K $ et qui est strictement positive ailleurs

Et pour le coup de la mesure non nulle ?
En gros, ce qu'il me manque surtout pour comprendre, c'est un ensemble de mesure non nulle mais ne contenant aucun intervalle.

Edit : En fait, j'ai l'impression que R étant de mesure infinie, et Q de mesure nulle, R\Q est forcément de mesure infinie bien que ne contenant aucun intervalle.
Donc il suffirait de fabriquer une fonction dont la dérivée s'annule sur les irrationnels.
Tout ça pour dire que j'ai mal assimilée le peu de cours que j'ai vu sur la mesure, j'arrive pas à visualiser ce que cela représente...

[sotwafits]

Et pour le coup de la mesure non nulle ?
En gros, ce qu'il me manque surtout pour comprendre, c'est un ensemble de mesure non nulle mais ne contenant aucun intervalle.

(et fermé en plus)
Sans rentrer dans les détails :
Soit $ (r_n) $ une bijection de $ \mathbb{N} $ dans $ \mathbb{Q} $. On pose
$ U=]0,1[\cap \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}]r_n-\frac\epsilon{2^n},r_n+\frac\epsilon{2^n}[ $
Le complémentaire de $ U $ dans $ [0,1] $ est fermé, d'intérieur vide, et pour $ \epsilon $ assez petit, il est de mesure non nulle.

SPOILER:

(plus précisément, dès que $ \epsilon<\frac14 $, car la mesure de $ U $ est $ \le 4\epsilon $)

Donc il suffirait de fabriquer une fonction dont la dérivée s'annule sur les irrationnels.

Je doute que ça existe, une fonction dont la dérivée ne s'annule que sur les irrationnels. Mais sur n'importe ensemble fermé, c'est possible. C'est pourquoi j'ai pris un ensemble fermé pour mon exemple ci-dessus.

Tout ça pour dire que j'ai mal assimilée le peu de cours que j'ai vu sur la mesure, j'arrive pas à visualiser ce que cela représente...

Pour les intervalles, c'est facile à comprendre.
Pour des ensembles plus compliqués, ça peut être fortement contre-intuitif !