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alm a écrit :

Jay Olsen a écrit :Sur un intervalle c'est trivial, car dérivée non bornée veut dire qu'elle est infinie en un point càd que la fonction n'est pas dérivable.. Exemple : racine sur [0,1].

C'est vrai dans l'exemple mais en général, ce n'est pas toujours le cas (c'est justement ce que cherche l'auteur de la question mais il impose en plus un segment donc unintervalle compact).
- Sur un intervalle non forcément compact : $ f: ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)=\ln(\cos(x)) $
- Même sur un segment (c'est ce que cherche l'auteur de la question):
On prends $ f: [-1,1] \to \mathbb{R}; x \mapsto \left\{\begin{array}{lcl} x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) &\text{si} & x \neq 0 \\ 0 &\text{si} & x= 0 \end{array} \right. $
En effet $ f'(0)=0 $ et si $ x \neq 0, f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{2}{x} \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) $
Pour $ x_n=\sqrt{\frac{2}{(4n+1)\pi}}, n\in \mathbb{N}^* $, on a $ f'(x_n)=2x_n-\frac{2}{x_n} $, donc $ \lim\limits_{n \to +\infty} f'(x_n)=-\infty $, ce qui prouve que $ f' $ n'est pas bornée sur $ [-1,1] $

Si je ne me trompe pas $ g: x \mapsto x^2 \sin\left(\frac 1x \right) $ ne marche pas sur un segment, en effet: $ g'(0)=0 $ et si $ x \neq 0 $ alors $ g'(x)= 2x \sin \left(\frac 1x \right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right) $, donc $ |g'(x)| \leq 2\delta + 1 $ où $ \delta $ est le diamètre du segment en question, donc $ g' $ est bornée sur tout segment, contrairement à ce que cherche l'auteur du topic. Sauf erreur de ma part.

alm a écrit : Si je ne me trompe pas $ g: x \mapsto x^2 \sin\left(\frac 1x \right) $ ne marche pas sur un segment, en effet: $ g'(0)=0 $ et si $ x \neq 0 $ alors $ g'(x)= 2x \sin \left(\frac 1x \right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right) $, donc $ |g'(x)| \leq 2\delta + 1 $ où $ \delta $ est le diamètre du segment en question, donc $ g' $ est bornée sur tout segment, contrairement à ce que cherche l'auteur du topic. Sauf erreur de ma part.

TROLOLOL a écrit : En fait si je comprends bien, prendre Xn avec n qui tend vers +inf ça revient à prendre x qui tend vers 0.
On trouve alors que la dérivée à droite de 0 est différente de celle que tu as énoncé en 0. Possible ?

Oka a écrit :y a un petit soucis avec ta suite $ x_n $ je crois (t'as le cos et le sin qui valent 1 en meme temps ?), mais on comprend l'idée

corderaide a écrit : donc définie sur un intervalle donc bornée

darklol a écrit :Je connais beaucoup de fonctions définies sur un intervalle qui sont non bornées.

prouver que si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions réelles positives croissantes sur $ \mathbb{R} $ alors leur produit $ fg $ est croissante,