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Oui. Enfin pas le déplacement mais les composantes du vecteur position OG3.

Alors je n'ai pas compris comment faire cette projection je crois, est ce que vous pouvez m'expliquer à l'aide d'un exemple svp?

Non c'est bon, ton résultat est correct. Tu as projeté le vecteur OG3 sur y0 et sur z0.

Mais donc quand je fais l'application numérique avec les angles égaux à 10° et ych =0, j'obtiens bien les résultats suivants : 11,4 pour le déplacement horizontal et -61.9 pour celui vertical?
Sachant que je dois montrer que le déplacement vertical et minime devant celui horizontal pour des angles de l'ordre de 10° je ne vois pas en quoi mon calcul prouve quoi que ce soit?

J'ai aussi calculé le vecteur vitesse : Est ce qu'il est bon?

Ce n'est pas le déplacement que tu trouves quand tu remplaces les angles par 10°, mais simplement les coordonnées de G3 dans le repère R0 quand tes angles valent 10°. Un déplacement c'est une variation entre deux positions. Par exemple entre théta = 0 et théta = 10°.
Ton calcul de la vitesse est faux, il faut séparer ton vecteur position en 3 (le terme dans R0, celui dans R2 et celui dans R3) et faire la somme des dérivées de ces 3 termes.
Ton calcul est faux car la dérivée de OG3 dans R3 n'est pas nulle. C'est simplement la dérivée de FG3 qui est nulle dans R3.

Du coup,il faudrait que je parte de là ? Par contre, je ne vois pas du tout comment faire pour la dérivée de OG3 qui n'est pas nulle, je n'ai vu que quelques exemples de cette formule où toutes ces dérivés étaient nulles. Pourriez vous m'expliquer comment on la calcule svp?

Oui sauf que ych est variable non ?

Oui très juste du coup je le dérive également c'est bien ça?

Ben oui.