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Dattier a écrit : ↑

21 mai 2018 21:09

Bonsoir,

Je te donne les ingrédients :
-formule de Legendre : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Legendre
-en prenant le polynôme : $ P(x)=(x^2-2)(x^2-3)(x^2-6) $ il me semble que c'est plus simple.

Avez-vous réussi a minorée $ v_{p}(\Pi_{k=1}^{n} (k^{2}-2)(k^{2}-3)(k^{2}-6)) $ ?
je suis extrêmement rouiller en valuation , mais je ne crois pas que ce soit facile .

Merci ,effectivement c'est beaucoup plus simple . Je dois revoir les valuations , dans mon souvenir j'avais vu un document sur les nombres premiers , dans une partie il s’était intéressé a la valuation de $ P_{n}=\Pi_{i=1}^{n} (i^{2}+1) $ (cela ressemble a la forme de l'exercice ) les résultats établit avaient des démonstrations monstrueuse , d'ou ma septicité....

Pour le $ 140 $ , soit $ r $ un nombre premier différent de $ p $ , on a donc
$ q^{r-1}\equiv 1 [r] $ est alors pour tout entiers m , $ q^{m(r-1)} \equiv 1 [r] $ , Ainsi les $ k \in [[1,n]] $ de la forme $ k=m(r-1) $ vérifient tous $ r|1-p^{k} $ , il y en a $ E(\frac{n}{r-1}) $

donc $ V_{r}(P_{n}) \geq E(\frac{n}{r-1}) \geq v_{r}(n!) $ , puis pour $ r=p $
$ V_{p}(P_{n}) =n-1 \geq E(\frac{n}{p-1}) $ , pour $ p >2 $ donc
$ n!|P_{n} $ pour $ p > 2 $

pour $ p=2 $ , c'est toujours vraie d'ou le résultat sauf erreur .

Voici le résultat dans je faisais référence , $ P_{n}=\Pi_{i=1}^{n} (i^{2}+1) $
alors pour $ p $ premier impaire ,
$ v_{p}(P_{n}) \leq \log_{p}(n^{2}+1) +\frac{2n}{p-1} $ .

Ce lemme permet de montrer un résultat dû a Chebyshev , Nagell : Pour tout $ c>0 $ , il existe une infinité d'entiers $ n $ , de sorte que le plus grand diviseur premier de $ n^{2}+1 $ est plus grand que $ cn $

oui quand , vous m'avez dit solution en deux lignes , j'ai bien senti que vous parliez d'une solution combinatoire , que je n'ai pas su trouver .

Dattier a écrit : ↑

26 mai 2018 16:17

142 : étude de densité 2
Etudier la densité de $ A=\{\ln(n)+m \times \pi \text{ ; } n\in\mathbb N^*, m \in \mathbb Z\} $ dans $\mathbb R$.

Soit $a \in \mathbb R$ et $\epsilon > 0$.
Soit $N \in \mathbb N$ tel que $\forall n > N$, $ln(n+1)-ln(n) < \epsilon$.
On pose $m$ tel que $a+m\pi > ln(N)$.
On prend $n$ tel que $\mid ln(n)-(a+m\pi) \mid < \epsilon$. Ce qui achève la preuve.

L'idée est de remarquer que la fonction logarithme a une variation que décroit jusqu'à 0.
Alors, en partant du réel $a$ on peut ajouter des multiples de $\pi$ jusqu'à arriver dans la zone où le logarithme a une croissance contrôlée.
Il suffit ensuite de prendre un entier tel que son logarithme approche ce nouveau réel.

Généralisation exo 65 : http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/Topologie.pdf

Dattier a écrit : ↑

28 mai 2018 18:19

Bonjour,

énoncé 143 : polynôme et permutation
On se place dans $ \mathbb F_p $ avec $p$ entier premier, et $P(x)=(x^a-1)(x^b-1)$ bijection de $\mathbb F_p$
A-t-on $\text{pgcd}(a\times b,p-1)>1$ ?

Bonne journée.

Avec p>2 ?

Dattier a écrit : ↑

26 mai 2018 16:17

142 : étude de densité 2
Etudier la densité de $ A=\{\ln(n)+m \times \pi \text{ ; } n\in\mathbb N^*, m \in \mathbb Z\} $ dans $\mathbb R$.

Intuitivement, on utilise une échelle linéaire et une échelle log, donc aucun risque qu'elles soient commensurables, donc dense ? (Pas de preuve sous la main mais j'y travaille. Malheureusement ça ne ressemble pas à un groupe.)

Posons $ A $ la matrice symétrique définie positive de taille $ n $ qui vaut 2 sur la diagonale et 0 ailleurs. Posons $ \vec{b} $ le vecteur colonne de taille $ n $ et dont la $ i $eme composante vaut $ i $. On pose la fonctionnelle:
$$
\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\\
\vec{x}\mapsto \frac{1}{2}\vec{x}^\top A\vec{x}-\vec{b}^{\top}\vec{x}.
$$
Le problème revient à trouver le minimum de $ \psi $. On vérifie aisément que $ \psi $ est continue sur $ \mathbb{R}^n $, et que $ \psi(x) $ tend vers $ +\infty $ quand $ \lVert\vec{x}\rVert $ tend vers $ +\infty $. Donc $ \psi $ admet au moins un minimum. De plus $ \psi $ est strictement convexe donc ce minimum est unique. En calculant la différentielle de $ \psi $, on obtient
$$
\mathrm{d}\psi(\vec{x})(\vec{h})=\vec{h}^\top(A\vec{x}-\vec{b})
$$
Au point où le minimum de $ \psi $ est atteint, cette valeur s'annule pour tout $ \vec{h} $. Donc, le minimum est atteint en $ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} $.

Revenons au cas particulier. On a donc ue le minimum est atteint quand $ x_i=i/2 $. Et le minimum est $ -\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}i^2 $.

Si n est pair on a un terme au milieu du type $2{x_{\frac{n}{2}}^{2}}$ positif.
Ensuite en fait il suffit de regarder comment minimiser à i fixé $3{x_{i}}^{2}+3{x_{n-i}}^{2}-2x_{i}x_{n-i}=2{x_{i}}^{2}+2{x_{n-i}}^{2}+(x_{i}-x_{n-i})^{2}$ qui est encore positif. On a donc le fait que la somme est positive et minimale pour tous les $x_{i}$ nuls et vaut 0.