Exos sympas lycée (1ere et Terminale)

[Magnéthorax]

En même teps la question 1 de :

Le but est de montrer que si p est nombre premier, alors p est de la forme 3n+1 si et seulement si p est la somme de deux carrés d'entiers.

1) En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer le théorème de Wilson : pour tout p premier , $ (p-1)! \equiv -1 [p] $ (Question difficile pour un ts, vous pouvez l'admettre)
2) Montrer le sens réciproque de l'équivalence énoncée.
3) On suppose $ p \equiv 1 $ [4]. Montrer grâce à 1, qu'il existe$ x \in \mathbb{N}^* $tel que p divise $ 1+x^2 $. Conclure.

Me fait PETER un cable.

J'aurais juré que 7 n'était pas la somme de deux carrés.

[np*]

C'est sûr qu'il vaut mieux éviter de péter un câble à essayer de démontrer un résultat faux . Il faut bien sûr remplacer $ 3n + 1 $ par $ 4n + 1 $ pour retrouver le théorème des deux carrés (cadeau de Noël de Fermat et donc tout à fait adapté à ces périodes de fête). Même si ça ne change pas la première question.

Après, je sèche aussi sur la question 1) qui me semble particulièrement difficile. Je connais plusieurs démonstrations du théorème de Wilson, dont une assez élémentaire en regroupant les facteurs de $ (p - 1)! $ deux à deux. Mais l'énoncé semble indiquer qu'il y a une manière rapide de conclure en utilisant le petit théorème de Fermat. Je crois me souvenir d'une démonstration de Lagrange qui exprime $ (p - 1)! $ sous forme d'un binôme de Newton et utilise le théorème de Fermat, mais sans indication, je trouve ça assez coriace. Une petite piste serait donc la bienvenue pour moi.

[JeanN]

Moi non plus je ne sais pas faire la première question avec Fermat et des connaissances de terminale.
Pour la 3e, c'est de la science fiction en terminale (ou alors je ne connais pas assez de preuves du théorème des deux carrés et serais heureux d'en découvrir une de plus)
Reste la 2e qui a le mérite de faire faire un peu d'étude de congruence...(il faut néanmoins supposer p impair)

[mathophilie]

C'est sûr qu'il vaut mieux éviter de péter un câble à essayer de démontrer un résultat faux . Il faut bien sûr remplacer $ 3n + 1 $ par $ 4n + 1 $ pour retrouver le théorème des deux carrés (cadeau de Noël de Fermat et dont tout à fait adapté à ces périodes de fête). Même si ça ne change pas la première question.

Après, je sèche aussi sur la question 1) qui me semble particulièrement difficile. Je connais plusieurs démonstrations du théorème de Wilson, dont une assez élémentaire en regroupant les facteurs de $ (p - 1)! $ deux à deux. Mais l'énoncé semble indiquer qu'il y a une manière rapide de conclure en utilisant le petit théorème de Fermat. Je crois me souvenir qu'une démonstration de Lagrange qui exprime $ (p - 1)! $ sous forme d'un binôme de Newton et utilise le théorème de Fermat, mais sans indication, je trouve ça assez coriace. Une petite piste serait donc la bienvenue pour moi.

Oui effectivement merci de la correction, ça m'évitera de chercher pour rien ^^ Meme si j'avoue que pour l'instant je n'ai fait attention qu'à la question 1

Je me suis rendue compte nuitamment que Bezout permettait d'aboutir rapidement (il a fallu que je cherche dans mon manuel de spe maths pour faire connaissance avec Bezout haha ^^), mais avec le petit théorème de Fermzt c'est chauuuiud !

[mathophilie]

Bon les derniers messages sont rassurants je vais passer a la question 2 hehe
Et puis si quelqu'un est pas content pour la 1 je lui ferai un petit Bezout sur la joue, pour le calmer (c'est nuuuul).



EDIT : Autant pour moi, Bézout ne me sert pas du tout pour la question 1, je suis partie en partie ( ) de ce qu'il fallait démo... Ne jamais faire des maths après minuit

[mathophilie]

Hey mais en fait :

SPOILER:

Est-ce qu'on peut se servir de Bézout pour la réciproque ?

On suppose pour un p donné $ (p-1)! \equiv -1 [p] $
Ce qui équivaut à $ kp + (p-1)! = -1 $, d'où $ -kp - (p-1)! = 1 $ avec k entier.
Du coup on a une égalité de Bézout ou je ne sais pas comment ça s'appelle, on peut en déduire que PGCD(p;p-1) = 1, mais aussi que PGCD(p;p-2) = 1, ..., PGCD(p;2) = 1.
Donc pour tout z compris entre 2 et p-1, PGCD(p;z) = 1.
D'où p premier.

Ca me semble bon mais JeanN a parlé de supposer p impair et d'études de congruences... Je vais quand même chercher dans cette direction.

Sinon pour la 1,je vais feuilleter mon livre de maths spé pour voir si je peux pas utiliser un autre théorème miracle Non sérieusement, pourrait-on avoir un indice pour la résoudre avec des connaissances de Term ou c'est vraiment pas de notre niveau ?

[JeanN]

La question 2 ne demande pas la réciproque du théorème de Wilson mais de l'énoncé annoncé en préambule.

[mathophilie]

La question 2 ne demande pas la réciproque du théorème de Wilson mais de l'énoncé annoncé en préambule.

Ahhhh
Ah oui d'accord d'où la manip de congruences

Ok merci bon bah je vais chercher alors...

Est ce que quelqu'un pourrait proposer un indice pour la q1 s'il vous plait et s'il en a le temps et l'envie ?

[JeanN]

Montre que pour tout entier k entre 2 et p-2, il existe un unique entier k' entre 2 et p-2 différent de k tel que kk' est congru à 1 modulo p
Pour l'existence, on peut utiliser Fermat (afin de rester dans l'esprit proposé par l'énoncé )

[mathophilie]

Montre que pour tout entier k entre 2 et p-2, il existe un unique entier k' entre 2 et p-2 différent de k tel que kk' est congru à 1 modulo p
Pour l'existence, on peut utiliser Fermat (afin de rester dans l'esprit proposé par l'énoncé )

D'accord merci, je vais essayer après avoir goûté (bah oui faut bien faire des pauses dans la vie... toutes les 5 minutes )