Exos sympas lycée (1ere et Terminale)

[mathophilie]

Montre que pour tout entier k entre 2 et p-2, il existe un unique entier k' entre 2 et p-2 différent de k tel que kk' est congru à 1 modulo p
Pour l'existence, on peut utiliser Fermat (afin de rester dans l'esprit proposé par l'énoncé )

Je tente... Mais du coup j'ai pas utilisé Fermat

SPOILER:

Soit k un entier compris entre 2 et p-2.
Soit k' un entier compris entre 1 et p.
On étudie le produit kk'.
Il existe p restes dans la division de kk' par p.
De plus k' n'est pas égal à p, sinon $ kp \equiv 0 [p] $ et non 1.
k' n'est pas non plus égal à 1, sinon, comme k est compris entre 2 et p-2, le produit n'est pas congru à 1 mod p.
k' n'est pas égal à p-1, car $ k(p-1) = kp - k \equiv -k [p] $ donc comme k compris entre 2 et p-2, le produit ne serait pas congru à 1 mod p.
Ainsi il existe un k' compris entre 2 et p-2 tel que $ kk'\equiv 1 [p] $.

Pour l'unicité, supposons qu'il existe deux entiers k' et b tous deux compris entre 2 et p-2, et tels que $ kk'\equiv 1 [p] $et $ kb\equiv1[p] $.
On a donc en sommant les congruences : k(k'-b) \equiv 0 [p].
De plus comme p ne divise pas k, donc d'après le théorème de Gauss, p divise k'-b.
Or k'-b < p, donc on a nécessairement k' = b, d'où l'unicité.

Ainsi, on a démontré qu'il existe un unique couple (k;k') avec k et k' compris entre 2 et p-2 tels que $ kk'\equiv 1 [p] $.
Donc on peut regrouper tous les entiers compris entre 2 et p-2 de façon analogue, et on prouve ainsi que $ (p-2)! \equiv 1 [p] $De plus $ p-1 \equiv -1 [p]. $
Ainsi, en multipliant, il vient $ (p-1)! \equiv -1 [p] $ !! (Fiouf )

Bon bah merci, j'y serai pas parvenu seule, c'est sûre ça au moins ^^
Mais ne pas avoir utilisé (et ne pas parvenir à utiliser, c'est surtout ça ) le petit théorème de Fermat, c'est bizarre.

[JeanN]

Tu n'as pas vraiment démontré l'existence même si tu as une idée de base intéressante...
Indic pour utiliser Fermat : que vaut $ k^{p-1} $ modulo p ? Quel k' pourrais-tu choisir alors ?
Il te faudra également expliquer pourquoi k' est différent de k

[mathophilie]

Tu n'as pas vraiment démontré l'existence même si tu as une idée de base intéressante...
Indic pour utiliser Fermat : que vaut $ k^{p-1} $ modulo p ? Quel k' pourrais-tu choisir alors ?
Il te faudra également expliquer pourquoi k' est différent de k

Hein oui, je comprends mon erreur, il faudrait montrer que tous les restes des produits dans la division par p sont distincts... ?

k étant inférieur à p, on peut appliquer le théorème de Fermat, donc $ k^{p-1} \equiv 1 [p] $ mais je ne comprends pourquoi il faudrait le multiplier par un k' alors que on a élevé à la puissance p-1 ?

Et pour k' différent de k, supposons k=k', on veut que $ k^2 \equiv 1 [p] $.
Donc il faudrait démontrer que pour un réel a compris entre 1 et p, $ a^2 \equiv 1 [p] $ si et seulement si $ a \equiv 1 [p] $ ou $ a \equiv -1 [p] $ ?
En effet, on a $ a^2 \equiv 1 [p] $, c'est à dire $ (a+1)(a-1) = kp $ ? (Je suis pas sure que l'on puisse conclure à partir de cette ligne).

Or k compris entre 2 et p-2 donc cette condition est irréalisable.
Donc k' différent de k ?

[Obj Prépa]

On note $ E $ l'ensemble des entiers naturels privé de l'ensemble des entiers $ k $ vérifiant :
$ k \equiv 1 \pmod 3 $ ou $ k \equiv 1 \pmod 5 $ .

Soit $ (u_n) $ la suite définie par :
$ \forall n \in \mathbb{N} : u_n = \frac{n^2}{2} $ si $ n \in E $ et$ u_n = 2n-1 $ si $ n \notin E $

La suite $ (u_n) $ converge-t-elle ?

[Physteur]

t'es sur de ton énoncé ? ca m'a l'air un peu trop simple

[SigmaPi]

On note $ E $ l'ensemble des entiers naturels privé de l'ensemble des entiers $ k $ vérifiant :
$ k \equiv 1 \pmod 3 $ ou $ k \equiv 1 \pmod 5 $ .

Soit $ (u_n) $ la suite définie par :
$ \forall n \in \mathbb{N} : u_n = \frac{n^2}{2} $ si $ n \in E $ et$ u_n = 2n-1 $ si $ n \notin E $

La suite $ (u_n) $ converge-t-elle ?

SPOILER:

non

[Magnéthorax]

Bonsoir,

je relance ce fil car je pense qu'il a un intérêt propre par rapport à celui de pré-rentrée : toutes les notions du programme n'ayant pas été abordées, il peut être un endroit où l'on découvre des choses avant qu'elles ne soient saccagées par la pratique routinière des "type-bac" et la fausse conscience qui se développe avec cette pratique exclusive. Pour ma part, je proposerai des "activités" d'introduction à des notions (souvent au programme mais pas exclusivement) que je juge pertinentes. Souvent, je les ai pompées dans les pages dédiées des manuels les plus courants. C'est encore là que leurs auteurs peuvent le plus faire preuve d'imagination et permettre aux élèves d'entrevoir ce que peut être l'activité mathématique dans sa diversité.

On pourra admettre les points suivants :

- une fonction dérivable sur un intervalle et qui est de dérivée nulle est nécessairement constante sur cet intervalle.
- une fonction qui admet des limites réelles en un réel par valeurs inférieures (i.e. à gauche) et supérieures (i.e. à droite) qui sont égales possède effectivement une limite réelle en ce réel, et cette limite est égale à leur valeur commune.
- dans le plan usuel muni d'un repère orthonormé, il existe une notion d'aire qui étend à tout une gamme de parties du plan celle déjà rencontrée au collège et qui prolonge ses propriétés naturelles. En particulier, on considérera que les segments de droite - qui sont des rectangles d'épaisseur nulle - sont d'aire nulle.

En revanche, on n'utilisera pas de résultats issus du cours "Primitives et intégrales".

Toujours dans ce plan usuel, on note $ \mathcal{P} $ la courbe de la fonction $ x\mapsto x^2 +1 $.

On introduit la fonction $ f $ sur $ [0,+\infty[ $ telle que pour tout $ x_0 $ dans $ [0,+\infty[ $, le réel $ f(x_0) $ est égal à l'aire de la partie du plan délimitée par les droites d'équation $ x=0 $, $ x=x_0 $, $ y=0 $ et $ \mathcal{P} $.

1. Soit $ x_0 $ un réel positif. Etant donné $ h $ un réel strictement positif, proposez un encadrement de $ f(x_0+h)-f(x_0) $ en utilisant la croissance de $ x\mapsto x^2+1 $ sur $ [0,+\infty[ $. On pourra s'appuyer sur un schéma.

2. Déduisez-en que $ \tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $ possède une limite quand $ h $ tend vers $ 0 $ par valeurs supérieures (i.e. la fonction $ \tau(h) $ possède une limite à droite en $ 0 $ ou encore : la fonction $ \tau(h) $ possède une limite en $ 0^+ $). Même question en remplaçant "valeurs supérieures" par "valeurs inférieures". Précisez ces limites. Que pouvez-vous en déduire ?

3. Exprimez $ f $ à l'aide d'une fonction usuelle.

4. Quelle(s) généralisation(s) du résultat précédent pouvez-vous envisager ?

[Syl20]

Toujours dans ce plan usuel, on note $ \mathcal{P} $ la courbe de la fonction $ x\mapsto x^2 +1 $.

On introduit la fonction $ f $ sur $ [0,+\infty[ $ telle que pour tout $ x_0 $ dans $ [0,+\infty[ $, le réel $ f(x_0) $ est égal à l'aire de la partie du plan délimitée par les droites d'équation $ x=0 $, $ x=x_0 $, $ y=0 $ et $ \mathcal{P} $.

1. Soit $ x_0 $ un réel positif. En utilisant la monotonie de $ x\mapsto x^2 $, proposez un encadrement de $ f(x_0+h)-f(x_0) $ pour $ h>0 $ qui permette de démontrer ensuite que $ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $ possède une limite quand $ h $ tend vers $ 0 $ par valeurs supérieures. Même question en remplaçant "valeurs supérieures" par "valeurs inférieures". Précisez ces limites. Que pouvez-vous en déduire ?

2. Exprimez $ f $ à l'aide d'une fonction usuelle.

3. Quelle(s) généralisation(s) du résultat précédent pouvez-vous envisager ?

Dites moi où je me suis trompé... (ou pas, on n'est pas à l'abri d'une bonne surprise )

SPOILER:

1. On a $ f(x_0)+h(x_0^2+1)\leq f(x_0+h) \leq f(x_0)+h((x_0+h)^2+1) $
D'où $ h(x_0^2+1)\leq f(x_0+h)-f(x_0) \leq h((x_0+h)^2+1) $
$ x_0^2+1\leq \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \leq (x_0+h)^2+1 $
Et, par comparaison, quand $ h\to 0 , \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \to x_0^2+1 $
Ainsi, $ f'(x_0)=x_0 ^2+1 $

2. On cherche $ f(x_0) $ tel que $ f'(x_0)=x_0 ^2+1 $ et $ f(0)=0 $
Avec une primitive, on trouve $ f(x_0)=\frac{1}{3}*x^3+x $

3. On note $ p(x) $ un polynôme
On a donc quand $ h\to 0 , \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \to p(x_0) $
Et $ f(x)=P(x) $, avec $ P(x) $ la primitive de $ p(x) $ qui s'annule en 0

[Siméon]

Dites moi où je me suis trompé... (ou pas, on n'est pas à l'abri d'une bonne surprise )

Pour le 2, tu ne démontres rien.
Ta réponse au 3 est très mal quantifiée.

[Magnéthorax]

Syl20 :

SPOILER:

Pour la 1 : pour vos lecteurs, vous pouvez expliquer d'où vient l'encadrement que vous trouvez en 1 ? Et l'étude "par valeurs inférieures" ?
Pour la 2 : comme dit dans l'énoncé, aucune notion du cours "Calcul intégral" n'est autorisée. Donc pas de primitive. Voir les éléments admis au début de l'énoncé pour vous en sortir.
Pour la 3 : il n'est pas clair que l'encadrement de départ qui fait marcher les choses fonctionne encore pour n'importe quelle fonction polynôme.

Courage !