Exos sympas MP(*)

[Asymetric]

Je demande à quiconque une liste d'exercices relativement jolis, en rapport avec des matrices à coefficients rationnels ou entiers (entiers de préférence).

[Silvere Gangloff]

Un classique (pas à coefficients rationnels ou entiers par contre) :
I. Calculer pour $ A $ matrice symétrique définie positive $ \int_{x\in {\mathbb{R}}^n} e^{-<Ax|x>} dx $, et en déduire l'inégalité de Hadamard pour une matrice inversible.

Sinon : II. Montrer que toute matrice de $ M_{n}(\mathbb{Z}) $ est équivalente à une matrice de la forme : $ diag(d_1,...,d_n) $ où $ d_1 | d_2 ... | d_n $ sont des entiers.

Ou alors : III. Supposons que$ \lambda_1,..,\lambda_n $ complexes sont les racines d'un polynôme unitaire de $ \mathbb{Z}[X] $. Montrer que pour tout q entier naturel >0, $ \prod_{i \in <1,n>} (X- (\lambda_i)^q) $est dans $ \mathbb{Z}[X] $.

Sinon : IV. Soit A matrice à coefficients entiers, telle que $ A =I_n $ dans $ \mathbb{Z}/{p\mathbb{pZ}} $, et il existe r>0 tel que $ A^r=I_n $. Montrer que $ A=I_n $

Ensuite : V. Soit S un ensemble à $ N $ éléments. $ S_1,..,S_p $ p parties de $ S $. On note $ T_{i,j}=(S_i - S_j)\bigcup (S_j - S_i) $ et $ t_{i,j} $ son cardinal.
Montrer que pour tout p-uplet $ $d'entiers, $ c_1+..+c_p = 1 $ implique $ \sum_{1 \le i,j \le p } t_{i,j} c_i c_j \le 0 $

[Asymetric]

Intéressant, je les garde pour ce week-end merci.

SPOILER:

Par contre pour le premier , c'est pas vraiment au programme ce genre d'intégrale, mais bon si on tient vraiment à calculer ce truc ça fait $ \displaystyle \sqrt{\frac{\pi^n}{det(A)}} $

[Asymetric]

Par contre j'ai l'impression que tu oublies quelque chose (c'est peut-être moi) pour le deuxième :

SPOILER:

Ce n'est pas une arnaque ?
Si $ M \in M_n(\mathbb{Z}) $ alors $ M \in M_n(\mathbb{C}) $ donc $ M $ est équivalente à la matrice $ J_{rg(M)} $ qui répond bien à l'énoncé...

[Silvere Gangloff]

Evidemment, pour les équivalences on se place dans $ M_n(\mathbb{Z}) $ : il faut donc trouver deux matrices de $ GL_n(\mathbb{Z}) $ P et Q telles que PMQ soit de la forme donnée
Pour le premier, si on se force un peu, on peu faire rentrer ce genre d'intégrale dans le programme

[Asymetric]

Evidemment, pour les équivalences on se place dans $ M_n(\mathbb{Z}) $ : il faut donc trouver deux matrices de $ GL_n(\mathbb{Z}) $ P et Q telles que PMQ soit de la forme donnée

J'avais bien compris.

[artofmaths]

Ou alors : III. Supposons que$ \lambda_1,..,\lambda_n $ complexes sont les racines d'un polynôme unitaire de $ \mathbb{Z}[X] $. Montrer que pour tout q entier naturel >0, $ \prod_{i \in <1,n>} (X- (\lambda_i)^q) $est dans $ \mathbb{Z}[X] $.

Tu pourrais me donner une indication pour cet exercice. J'ai l'impression que ça fait intervenir les matrices compagnons mais je n'aboutis pas.

Merci d'avance.

[Silvere Gangloff]

Penser aux matrices compagnons c'est la clé de l'exo, à mon avis tu peux trouver tout seul, mais si vraiment tu ne trouves pas :

SPOILER:

Soit $ M $ matrice compagnon dont le polynôme caractéristique associé est celui considéré. $ M $ est à coefficients dans $ \mathbb{Z} $ donc $ M^q $ aussi. Or le polynôme caractéristique de $ M^q $ est celui de la fin de l'énoncé, donc ce dernier est à coefficients entiers.

[VictorVVV]

Penser aux matrices compagnons c'est la clé de l'exo, à mon avis tu peux trouver tout seul, mais si vraiment tu ne trouves pas :

SPOILER:

Soit $ M $ matrice compagnon dont le polynôme caractéristique associé est celui considéré. $ M $ est à coefficients dans $ \mathbb{Z} $ donc $ M^q $ aussi. Or le polynôme caractéristique de $ M^q $ est celui de la fin de l'énoncé, donc ce dernier est à coefficients entiers.

J'ai une solution un peu plus compliquée sans passer par les polynômes compagnons.

SPOILER:

$ \prod_{i \in <1,n>} (X- (\lambda_i)^q) $ est à coefficients entiers ssi $ \prod_{i \in <1,n>} (X^q- (\lambda_i)^q) $ l'est. Ce dernier est égal au signe près à $ Q(X)=P(X)P(wX)P(w^2X)...P(w^{q-1}X) $ dont on démontre l'entièreté des coefficients avec le lemme $ \forall (x_1,x_2,...,x_q)\in G $, $ \dfrac {\sum_{\phi \in Aut(G)} w^{\sum_j \phi(x_j)}} {|Aut(G)|} $ $ \in \mathbb Z $, où $ G=\frac {\mathbb Z} {q\mathbb Z} $. (Pour s'en servir, on écrit $ Q(X)=\dfrac {\sum_{\phi \in Aut(G)} \prod_j P(w^{\phi(j)}X)} {|Aut(G)|} $, puis on développe le produit, et on inverti les sommes.)

[artofmaths]

Penser aux matrices compagnons c'est la clé de l'exo, à mon avis tu peux trouver tout seul, mais si vraiment tu ne trouves pas :

SPOILER:

Soit $ M $ matrice compagnon dont le polynôme caractéristique associé est celui considéré. $ M $ est à coefficients dans $ \mathbb{Z} $ donc $ M^q $ aussi. Or le polynôme caractéristique de $ M^q $ est celui de la fin de l'énoncé, donc ce dernier est à coefficients entiers.

Merci.