Exos sympas MP(*)

[Asymetric]

Un exercice tiré des oraux ENS en MP ( trouvé dans une revue de la RMS ):

Soient G et H des groupes, G fini. Soit f un morphisme de G dans H.
Trouver une relation entre card( G ), card( Ker f ) et card ( Im f ).

Ca ressemble beaucoup au théorème du rang mais l'équivalent pour les groupes , seulement si c'est le cas je ne vois pas comment faire.

Ce n'est pas du cours par hasard ?
Enfin c'est un résultat de cours il me semble.

[ØļivierŏđÐ]

Un exercice tiré des oraux ENS en MP ( trouvé dans une revue de la RMS ):

Soient G et H des groupes, G fini. Soit f un morphisme de G dans H.
Trouver une relation entre card( G ), card( Ker f ) et card ( Im f ).

Ca ressemble beaucoup au théorème du rang mais l'équivalent pour les groupes , seulement si c'est le cas je ne vois pas comment faire.

Ce n'est pas du cours par hasard ?
Enfin c'est un résultat de cours il me semble.

Ce n'est pas du cours mais c'est assez classique

[Asymetric]

Ce n'est pas du cours par hasard ?

C'est du cours, quand ton prof est fan de groupes (c'est ton cas).

Je vois (enfin je disais ça car je l'ai aussi vu en sup, donc j'avais fini par croire que c'était quelque chose à connaître...).

Puisqu'on parle de groupe, je propose :

Déterminer $ <GL_n(\mathbb{C}) \cap Diag_n(\mathbb{C})> $ dans le groupe $ Gl_n(\mathbb{C}) $ où $ Diag_n(\mathbb{C}) $ désigne l'ensemble des matrices de $ M_n(\mathbb{C}) $ diagonalisables dans $ M_n(\mathbb{C}) $.

[compol]

Puisqu'on parle de groupe, je propose :

Déterminer $ <GL_n(\mathbb{C}) \cap Diag_n(\mathbb{C})> $ dans le groupe $ Gl_n(\mathbb{C}) $ où $ Diag_n(\mathbb{C}) $ désigne l'ensemble des matrices de $ M_n(\mathbb{C}) $ diagonalisables dans $ M_n(\mathbb{C}) $.

Je ne comprends pas ton énoncé. Ici <machin> désigne-t-il le groupe engendré (ce qui donnerait sens à la remarque) par machin, ou bien le sous-espace engendré par machin?

[Silvere Gangloff]

C'est $ GL(n,\mathbb{C}) $. La démonstration est triviale.

[Asymetric]

C'est $ GL(n,\mathbb{C}) $. La démonstration est triviale.

Hmm c'est vrai que ce n'est pas très difficile...
Mais j'ai justement posté cet énoncé car j'ai vu qu'il suscite souvent des problèmes de compréhension comme c'est le cas au-dessus de ton message.

Je ne comprends pas ton énoncé. Ici <machin> désigne-t-il le groupe engendré (ce qui donnerait sens à la remarque) par machin, ou bien le sous-espace engendré par machin?

<machin> désigne bien sûr le groupe engendré.

[compol]

Si c'était le sous-espace engendré (autre exercice) , il me semble que c'est $ M_n(\mathbb{C}) $.

[Silvere Gangloff]

Si c'était le sous-espace engendré (autre exercice) , il me semble que c'est $ M_n(\mathbb{C}) $.

Yep : On peut le voir comme ceci :
Le sous espace engendré contient l'intersection de $ GL_n(\mathb{C}) $ et de $ D_n(\mathb{C}) $ qui sont deux ouverts denses, donc l'intersection est dense. Le sous espace engendré est de dimension finie, donc fermé, donc égal à l'espace.

[Asymetric]

Si c'était le sous-espace engendré (autre exercice) , il me semble que c'est $ M_n(\mathbb{C}) $.

C'est pour cela que j'avais précisé "dans le groupe $ GL_n(\mathbb{C}) $".

[MATHADOR]

Ce n'est pas du cours par hasard ?

C'est du cours, quand ton prof est fan de groupes (c'est ton cas).

Je vois (enfin je disais ça car je l'ai aussi vu en sup, donc j'avais fini par croire que c'était quelque chose à connaître...).

On a peut-être le même cours car c'est aussi dans mon cours cette année (de sup). Je crois que c'est en corollaire du théorème de factorisation sur les morphismes de groupes et vu que kerf est un sous groupe distingué de G, G/Kerf est bien un sous groupe et le résultat vient directos. Faut quand même supposer G fini.