Exos sympas MPSI

[Monsterkuru]

Merci KGD, c'est un peu plus consistant

Dans un registre similaire, je propose celui-là :

Soit $ f: \mathbb R \to \mathbb R $ de classe $ \mathcal C^{p} $.
On suppose qu'il existe n dans [[1,p-1]] tel que $ f=o(x^{n}) $ lorsque |x| tend vers $ +\infty $, Montrer que $ f^{(p)} $ s'annule en un point.

[kakille]

Un qui ne mange pas de pain:

Soit $ (u_n)_{n \ge 1} $ une suite bornée à termes positifs telle que $ \displaystyle \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $. Montrer que $ \displaystyle \frac{u_1^2 + \dots + u_n^2}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $.

SPOILER:

Si $ \displaystyle \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \longrightarrow 0 $ alors $ u_n \longrightarrow 0 $. En effet dans le cas contraire, ce quotient tendant vers la moyenne arithmétique de cette suite bornée de termes, il ne tendrait pas vers 0.
On remarque maintenant que pour tout $ u_n \in [0;1] $, $ u_n^2 \leq u_n $. Ainsi en posant $ n_{0} $ le rang à partir duquel $ u_n \leq 1 $ on a $ 0 \leq u_{n_0}^2 + u_{n_0 +1}^2 +... \leq u_{n_0} + u_{n_0 +1} +... $ et par théorème de comparaison $ \frac{u_{n_0}^2 + u_{n_0 +1}^2 +...+u_n}{n} \longrightarrow 0 $. Par suite (hohoho) $ \displaystyle \frac{u_1^2 + \dots + u_n^2}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $

Alors j'ai le niveau TSI ?

Le soleil revient et les insolations avec.

[spemaths]

donnerwetter il faut être sûr de sa réponse avant de se moquer des petites filières!

[Syl20]

C'est quoi la moyenne arithmétique d'une suite ? Pourquoi elle ne serait pas égale à 0 ici, à supposer qu'elle soit définie ?
En tout cas, $ (u_n) $ ne tend pas forcément vers quoi que ce soit, et ne tend pas forcément vers 0. Peux-tu trouver un exemple de ce phénomène ?

SPOILER:

La suite définie par $ u_{2^n}=2 $ et $ u_n=0 $ si n n'est pas une puissance de 2 ?

[symétrie]

Par exemple, oui.

(Si tu veux aller plus loin : que dire de la réciproque, i.e. si une suite converge vers une certaine limite, est-ce que la suite des moyenne telle qu'écrite plus haut converge ?)

[brank]

Par exemple, oui.

(Si tu veux aller plus loin : que dire de la réciproque, i.e. si une suite converge vers une certaine limite, est-ce que la suite des moyenne telle qu'écrite plus haut converge ?)

Il faut revenir à la définition avec les epsilons pour faire ça, je pense qu'en terminale c'est pas vu (à confirmer).

[Bidoof]

Un qui ne mange pas de pain:

Soit $ (u_n)_{n \ge 1} $ une suite bornée à termes positifs telle que $ \displaystyle \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $. Montrer que $ \displaystyle \frac{u_1^2 + \dots + u_n^2}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $.

SPOILER:

La suite u est bornée et à termes positifs, il existe un $ M $ de $ \mathbb{R}_{\ge 0} $ tel que $ (\forall n \in \mathbb{N}, 0 \le u(n) \le M) $ alors $ (\forall n \in \mathbb{N}, 0 \le (u(n))^{2} \le M u(n) ) $ d'où le résultat.

[brank]

ça marche bidoof. Et si u n'est pas bornée t'as un contre-exemple ?

SPOILER:

$ u_n=\sqrt{\sqrt{n}} $ si $ n $ est un carré et 0 sinon ?

[Bidoof]

ça marche bidoof. Et si u n'est pas bornée t'as un contre-exemple ?

SPOILER:

$ u_n=\sqrt{\sqrt{n}} $ si $ n $ est un carré et 0 sinon ?

SPOILER:

La suite qui à $ k $ associe $ k $ si son terme est $ k^{3} $ n'est pas bornée et elle fonctionne à mon humble avis.

[spemaths]

Sauf erreur ta suite est bornée