Avance en algèbre (futur MPSI)

[Oka]

Comment le montrer proprement grâce à la bijection ?
Sinon oui effectivement H doit obligatoirement être distingué dans G pour que G/H soit un groupe (preuve : par l'absurde, si H n'est pas distingué et G/H est un groupe, alors H est distingué car c'est le noyau de la surjection canonique).

Bah si tu montre que p est bien une bijection c'est bon non ?
pour ta preuve par l'absurde faut aussi que la surjection canonique soit un homomorphisme pour ta structure de groupe de G/H pour conclure je crois

[geunzero]

la bijection nous dit que p(dZ) est un sous-groupe de Z/nZ mais ça ne nous dit pas que p(dZ)=dZ/nZ, et ça ne dit pas non plus que p(dZ) est d'ordre d, du moins pas directement

[Oka]

par definition de p on a p(dZ)=dZ/nZ puisque l'application p fait le quotient par nZ
ensuite p(dZ) est d'ordre n/d

[geunzero]

Ok du coup comment justifies tu que Z/nZ possède un unique sous-groupe d'ordre d pour tout diviseur d de n ? (grâce à la bijection)

[Mikihisa]

Dites, le cours de cpge puy du lome commence par définir la signature justement comme (-1)^I(sigma) avec I(sigma) le nombre d'inversions de sigma... quelqu'un saurait pourquoi ?

Toute propriété équivalente à la définition peut être considérée comme une définition. C'est libre les maths, tu avances comme tu veux.

D'ailleurs je trouve cette définition plus jolie. L'histoire du "c'est le seul morphisme surjectif de Sn dsns {-1,1}" je trouve qu'on vois pas trop de quoi il s'agit, la on vois bien le rapport avec le nombre inversion quoi.

[Piko]

Oui, mais elle a deux défauts : elle ne parle pas de morphisme surjectif topologiquement différentiable sur la K-algèbre anthropomorphique de la négritude contemporaine, et surtout, elle est (gasp) compréhensible...

[Mikihisa]

Re: Avance en algèbre (futur MPSI)
par geunzero » Jeu Juil 23, 2015 2:21 pm
Ok du coup comment justifies tu que Z/nZ possède un unique sous-groupe d'ordre d pour tout diviseur d de n ? (grâce à la bijection)
geunzero

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Inscrit le: Mar Juil 14, 2015 10:12 pm
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Bah, en fait bon j'te donne juste une piste : considère un élément r de Z/nZ qui appartient a un sous-groupe d'ordre d. En utilisant le théorème de Lagrznge, qu'elle information obtiens tu sur l'entier rd ? Qu'elle information cela te donne sur l'entier r ?

SPOILER:

rd = 0, par conséquent rd est multiple de n, et r multiple de n/d.
Comme 0<r<n évidemment, finalement r est dans l'ensemble {k*(n/d) : 0<k<d-1}. Donc en fait il n'y a que d valeures possible pour r, et par conséquent qu'un seul sous-groupe d'ordre d.
On ne prouve que l'unicité ici bien sur

[geunzero]

Oui merci c'est bon.

Je suis en train d'essayer de faire un DM de mpsi sur le groupe symétrique et je bloque sur une question : on note $ P_{n}(k) $ le nombre de permutations de $ \{1,\ldots,n\} $ qui ont exactement $ k $ points fixes. Montrer que $ \sum_{k=0}^n kP_{n}(k)=n! $

[Fresnel]

C'est pas plutôt la somme des (k parmi n)*Pn(k) = n! ?

[MSman]

Non je suis d'accord avec la formule de geunzero.
Indication : Compter le nombre de points fixes sur toutes les permutations.